Съдържание

IAO 2007, Теория, Група β, руски — Задача 3. Спирт во Вселенной.

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2007

Задачи теоретического тура · 29 септември 2007 г.

Общее замечание

Не исключено, что не во всех задачах вопросы поставлены корректно. Некоторые вопросы (возможно, главный вопрос задачи, возможно – подвопрос) могут не иметь смысла. В этом случае следует написать в ответе (по-русски или по-английски): «ситуация невозможна – situation is impossible». Естественно, ответ должен быть подкреплён вычислениями или логическими рассуждениями.

Материалы источника

Числовая таблица тел Солнечной системы не обнаружена среди 32 архивных файлов 2007 года. Лист bgtheo6.jpg содержит только переводы заголовков колонок. Официальные эскизы решений сохранены на предоставленном английском языке с обозначением утрат по краям снимков. Полная отдельная фотография самолёта и Луны приложена к задаче 4.

Note for jury and team leaders

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for8pts) may be shorter.

Source photograph damage

The second and fourth official solution photographs lose some initial letters or words at the left edge. Ellipses inside the affected solution text mark those source losses. Legible formulas, results and grading remarks are retained; missing letters have not been silently supplied. The solution for question4 contains no explanatory drawing, although the question requests one.

Printed source annotations

The galaxy key prints the same final logarithm1+HL₂/c in its classical and relativistic final lines, despite different numerical totals22.46 and22.82. The sail key repeats Δp and uses the printed multiplication/division notation. The source results and formulas are reproduced without scientific correction; punctuation and multiplication spacing are normalized only for mathematical rendering.

Сопоставление листов

Снимок theo.jpg содержит рядом группы α и β и повёрнут относительно ориентации файла. Отдельный betatheo.jpg повторяет задачи 1–5 группы β; это второй снимок того же издания, а не дополнительный комплект задач.

Условие

Астрономы британской обсерватории Джодрелл Бэнк обнаружили в далёком космосе облако спирта, поперечный размер которого составляет 288 миллиардов миль (463 миллиарда километров). Это открытие позволяет пролить свет на то, как из газа формировались гигантские звёзды. Некоторые страны даже решили направить экспедиции в ту область Вселенной для дегустации напитка, но... энтузиазм иссяк, когда выяснилось, что на современной технике до облака лететь многие миллионы лет. Плотность молекул в облаке велика по сравнению с плотностью межзвёздного газа, но очень мала в нашем повседневном понимании, всего около 10 атомов/мм³. Оцените, какой должна быть температура этого облака, чтобы оно было стабильно и в будущем не рассосалось бы (допустим, к прилёту туда международной экспедиции). Предположим, что спирт – этиловый (C₂H₅OH).

Решение

The problem, of course, estimational. The result may give us only very approximate value. The cloud will be stable and not dissolve in the case the average speed of molecules of alcohol, atomic weight of C₂H₅OH is $m=2\cdot12+6\cdot1+1\cdot16=46$ , so molar weight $\mu=0.046$ kg/mol. $R$ is universal gas constant and $T$ is absolute temperature (i.e. in Kelvins),

V_{\mathrm{av}}=(3RT/\mu)^{1/2}

not exceeds the II cosmic speed (the parabolic speed in other words) for the bodies at the edges of the cloud. $M$ is mass of the cloud and $r$ is its radius (half of mentioned 463 billion kilometres),

V_{\mathrm{II}}=(2GM/r)^{1/2}.

3RT/\mu<2GM/r.

M=\tfrac43\pi r^3\rho=\tfrac43\pi r^3nm=\tfrac43\pi r^3n\mu/N_A,

where n is concentration of molecules (for approximation it may be used value $n=10$ atoms/mm³ $=10^{10}$ m⁻³ or, that is more correct, this value should be deleted by the number of atoms in alcohol molecule, i.e. 9, and $n=1.1\cdot10^9$ m⁻³) and $N_A=6.022\cdot10^{23}$ is Avogadro number.

3RT/\mu<\tfrac83G\pi r^2n\mu/N_A.

T<\tfrac{8\pi}{9}Gr^2n\mu^2/RN_A.

Calculations of $\tfrac{8\pi}{9}Gr^2n\mu^2/RN_A$ give us 42.2 K for n = 10 molecules/mm³ and 4.7 K for 10 atoms/mm³, but since it is only rough approximation one cannot use an accuracy of more than 1 digit, i.e. 40 or 5 Kelvins (or, according to past standards “40 degrees of Kelvin” or “5 degrees of Kelvin”).

Note for jury: It is proposed that the students have to know by hard the fundamental constants as $G$ , $R$ or $N_A$ and also the atomic weights of H, C and O since these constants and these 3 elements are fundamental.

Данные

Данные из таблицы от телах Солнечной Системы могут быть использованы в любой задаче.

Оригинал в Архива: betatheo.jpg · официални решения: theosol1.jpg · допълнителни данни: theosol2.jpg · допълнителни данни: theosol3.jpg · допълнителни данни: theosol4.jpg · допълнителни данни: photo.JPG · допълнителни данни: theo.jpg