Съдържание

IAO 2007, Теория, Група β, руски — Задача 5. Визит.

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2007

Задачи теоретического тура · 29 септември 2007 г.

Общее замечание

Не исключено, что не во всех задачах вопросы поставлены корректно. Некоторые вопросы (возможно, главный вопрос задачи, возможно – подвопрос) могут не иметь смысла. В этом случае следует написать в ответе (по-русски или по-английски): «ситуация невозможна – situation is impossible». Естественно, ответ должен быть подкреплён вычислениями или логическими рассуждениями.

Материалы источника

Числовая таблица тел Солнечной системы не обнаружена среди 32 архивных файлов 2007 года. Лист bgtheo6.jpg содержит только переводы заголовков колонок. Официальные эскизы решений сохранены на предоставленном английском языке с обозначением утрат по краям снимков. Полная отдельная фотография самолёта и Луны приложена к задаче 4.

Note for jury and team leaders

The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for8pts) may be shorter.

Source photograph damage

The second and fourth official solution photographs lose some initial letters or words at the left edge. Ellipses inside the affected solution text mark those source losses. Legible formulas, results and grading remarks are retained; missing letters have not been silently supplied. The solution for question4 contains no explanatory drawing, although the question requests one.

Printed source annotations

The galaxy key prints the same final logarithm1+HL₂/c in its classical and relativistic final lines, despite different numerical totals22.46 and22.82. The sail key repeats Δp and uses the printed multiplication/division notation. The source results and formulas are reproduced without scientific correction; punctuation and multiplication spacing are normalized only for mathematical rendering.

Сопоставление листов

Снимок theo.jpg содержит рядом группы α и β и повёрнут относительно ориентации файла. Отдельный betatheo.jpg повторяет задачи 1–5 группы β; это второй снимок того же издания, а не дополнительный комплект задач.

Условие

Землю решили колонизировать внеземные животные (анималоиды). Навигационные приборы космических кораблей витулоидов (лат. vitulus = тюлень = seal) требуют, чтобы Полярная звезда ( $\alpha=2^{\text{ч}}32^{\text{м}}$ , $\delta=89^\circ16'$ на эпоху начала колонизации) иногда (после приземления) находилась бы строго в зените, а приборы крокодилоидов – чтобы она порой бывала строго на горизонте. Приборы расположены на верхней точке космических кораблей, которые могут приземляться только вертикально. Также необходимо, чтобы каждый прибор был бы невидим напрямую для подобного прибора любого другого корабля. Оцените, какое максимальное число кораблей каждого типа анималоидов может стоять на Земле. Считайте поверхность Земли сферической, космические корабли своей нижней частью находятся на этой поверхности (причём могут стоять как на суше, так и на поверхности моря), а высота каждого корабля равна $h=10$ м.

Решение

Внимание: Непълно решение

The official solution photograph clips some initial letters/words at the left edge. All legible content is retained and ellipses mark the genuine source loss.

At first we have to find the minimum distance D between two spacecrafts. From the equation

R_E^2+L^2=(R_E+h)^2

where $R_E$ is the Earth’s radius, we may find the distance L to the visible horizon from the top of the spacecraft,

L=(2R_Eh)^{1/2}\approx11.3\ \mathrm{km}.

The minimum distance between two spacecrafts equals to double of this distance, i.e.

D=2L=(8R_Eh)^{1/2}\approx22.6\ \mathrm{km}.

The navigation devices of the spacecrafts of vituloids should stay at the circle with latitude exactly equal to the declination of the Polar Star, i.e. $\varphi=89^\circ16'$ . The length of this circle is

S=2\pi\sin(90^\circ-\varphi)R_E=512\ \mathrm{km}.

So an estimate of the possible number of vituloids spacecrafts is the largest integer number not exceeding

S/D=2\pi\sin(90^\circ-\varphi)R_E/(8R_Eh)^{1/2}\approx22.7.

Thus,

N_V=[S/D]=[2\pi\sin(90^\circ-\varphi)R_E/(8R_Eh)^{1/2}]=22.

$[S/D]$ means the largest integer number not exceeding $S/D$ .

(For a more accurate solution we have to measure the distance not along the circle but directly. The correcting coefficient would be $\sin\alpha/\alpha$ , $\alpha$ is half the angle between meridians of two nearest spacecrafts. The coefficient is too near to 1, $\alpha\approx8.2^\circ$ , $k=0.997$ , so the integer value $[S/D]$ is still equal to 22.)

And the navigation devices of the spacecrafts of crocodiloids should stay not at the circle but in whole belt near equator. The length of this belt is about the equator length, i.e. $A=2\pi R_E=40076$ km, and the width of the belt is twice the value $\sin(90^\circ-\varphi)R_E$ ,

B=2\sin(90^\circ-\varphi)R_E=163.3\ \mathrm{km}.

Been placed in triangular net, there may stay $[B/(D(3)^{1/2}/2)]+1$ lines with $[A/D]$ spacecrafts in every line; or $[B/D]+1$ lines with $[A/(D(3)^{1/2}/2)]$ spacecrafts in every line.

[B/D]=[2\sin(90^\circ-\varphi)R_E/(8R_Eh)^{1/2}]=[\sin(90^\circ-\varphi)(R_E/2h)^{1/2}]=7,

[B/(D(3)^{1/2}/2)]=8,

[A/D]=[2\pi R_E/(8R_Eh)^{1/2}]=[\pi(R_E/2h)^{1/2}]=1774,

[A/(D(3)^{1/2}/2)]=2048.

Calculations give:

([B/(D(3)^{1/2}/2)]+1)\times[A/D]=9\times1774=15\,966,

([B/D]+1)\times[A/(D(3)^{1/2}/2)]=8\times2048=16\,384.

The second number is larger so it should be taken as the answer.

Note: It is not written in the text at what horizon should be the Polar Star: real or mathematical. But the answer does not depend on it. It may only move the belt but not change (as first approximation) its square and so not change the number of spacecrafts.

…e for jury: The important difference between these two situations should be understood by students and accordingly evaluated: …ecrafts of vituloids placed in line and spacecrafts of crocodiloids placed in area.

Answers. 22 spacecrafts of vituloids and 16 384 spacecrafts of crocodiloids.

Данные

Данные из таблицы от телах Солнечной Системы могут быть использованы в любой задаче.

Оригинал в Архива: betatheo.jpg · официални решения: theosol1.jpg · допълнителни данни: theosol2.jpg · допълнителни данни: theosol3.jpg · допълнителни данни: theosol4.jpg · допълнителни данни: photo.JPG · допълнителни данни: theo.jpg