IAO 2016, Теория, Група β — Задача 4. Heaven omen. Moon and comet.
XXI International Astronomy Olympiad — Theoretical round · 5 октомври 2016 г. · 8 т.
Read once more before you start your work
General note. Maybe not all problems have correct questions. Some questions (maybe the main question of the problem, maybe one of the subquestions) may make no real sense. In this case you have to write in your answer (in English or Russian): «impossible situation – ситуация невозможна». Of course, this answer has to be explained numerically or logically.
Data from the tables (Planetary data, stars, constants, etc.) may be used for solving every problem.
The answers «Да-Yes» or «Нет-No» have to be written in English or Russian.
Do not forget that in clean copy you should write solutions only on even (left) pages. The odd (right) pages will be used by your team leader to translate solutions into English and make emphasizing of your thoughts in solutions.
| EVEN PAGE / ЧЁТНАЯ СТРАНИЦА | ODD PAGE / НЕЧЁТНАЯ СТРАНИЦА |
|---|---|
| Текст решения. Text of solution. Текст решения. Text of solution. Текст решения. Text of solution. | × |
Ещё раз прочитайте перед началом работы
Общее замечание. Не исключено, что не во всех задачах вопросы поставлены корректно. Некоторые вопросы (возможно, главный вопрос задачи, возможно – подвопрос) могут не иметь смысла. В этом случае следует написать в ответе (по-русски или по-английски): «ситуация невозможна – impossible situation». Естественно, ответ должен быть подкреплён вычислениями или логическими рассуждениями.
Данные из таблиц (Солнечная система, звёзды, константы) могут быть использованы в любой задаче.
Ответы «Да-Yes» или «Нет-No» должны быть написаны по-русски или по-английски.
Не забудьте, что в чистовике вы должны писать решения только на чётных (левых) страницах. Нечётные (правые) страницы предназначены для того, чтобы руководитель вашей команды перевёл решения на английский язык и подчеркнул основные мысли решения.
Common introduction for problems 3 and 4. Heaven omen.
On June 22, 813 A.D., after 15 days of standing opposite to each other, Bulgarian Khan Krum defeated the Byzantine army of Emperor Michael I Rhangabe near Adrianople (currently Edirne, Turkey) and took over the city. After this victory, the Bulgarian army marched on Constantinople and besieged the capital of the Byzantine Empire. It is possible that the outcome of the battle was affected by superstitious generals. Fear of astronomical events is described in the Byzantine chronicles: “When the two armies, Bulgarian in north-west and Greek in south-east, converged, a terrible celestial omen was the gaze of warriors: two comets, bright as moons, separated from one another”. Some historians of astronomy believe that it is one of the first descriptions of a cometary nucleus fragmentation. However, there are also other options.
Элементы орбит и физические характеристики планет, некоторых карликовых планет, Солнца и Луны / Parameters of orbits and physical characteristics of planets, some dwarf planets, Sun and Moon
| Небесное тело, планета / Body, planet | Среднее расстояние от центрального тела, в астр. ед. / Average distance to central body, in astr. units | в млн. км / in mln. km | Сидерический период обращения, в тропич. годах / Sidereal (or analogous) period, in tropical years | в средних сутках / in days | Эксцентриситет, e / Eccentricity | Экваториальный диаметр, км / Equat. diameter | Масса, 10²⁴ кг / Mass | Средняя плотность, г/см³ / Av. density | Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf. | Макс. блеск, вид. с Земли / Max. magn. from Earth | Альбедо / Albedo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Солнце / Sun | 1,6·10⁹ | 2,5·10¹¹ | 2,2·10⁸ | 8·10¹⁰ | 1392000 | 1989000 | 1,409 | -26,8ᵐ | |||
| Меркурий / Mercury | 0,387 | 57,9 | 0,241 | 87,969 | 0,206 | 4 879 | 0,3302 | 5,43 | 3,70 | -2,2ᵐ | 0,06 |
| Венера / Venus | 0,723 | 108,2 | 0,615 | 224,701 | 0,007 | 12 104 | 4,8690 | 5,24 | 8,87 | -4,7ᵐ | 0,78 |
| Земля / Earth | 1,000 | 149,6 | 1,000 | 365,256 | 0,017 | 12 756 | 5,9742 | 5,515 | 9,81 | 0,36 | |
| Луна / Moon | 0,00257 | 0,38440 | 0,0748 | 27,3217 | 0,055 | 3 475 | 0,0735 | 3,34 | 1,62 | -12,7ᵐ | 0,07 |
| Марс / Mars | 1,524 | 227,9 | 1,880 | 686,980 | 0,093 | 6 794 | 0,6419 | 3,94 | 3,71 | -2,0ᵐ | 0,15 |
| Церера / Ceres | 2,77 | 414 | 4,60 | 1 681 | 0,077 | 963 | 0,0009 | 2,16 | 0,27 | 6,7ᵐ | 0,09 |
| Юпитер / Jupiter | 5,204 | 778,6 | 11,862 | 4 332,59 | 0,048 | 142 984 | 1899,8 | 1,33 | 24,86 | -2,7ᵐ | 0,66 |
| Сатурн / Saturn | 9,584 | 1433,7 | 29,458 | 10 759,20 | 0,054 | 120 536 | 568,50 | 0,70 | 10,41 | 0,7ᵐ | 0,68 |
| Уран / Uranus | 19,191 | 2871,0 | 84,015 | 30 685,93 | 0,046 | 51 118 | 86,625 | 1,30 | 8,44 | 5,5ᵐ | 0,74 |
| Нептун / Neptune | 30,071 | 4498,6 | 164,778 | 60 187,64 | 0,008 | 49 532 | 102,78 | 1,76 | 11,20 | 7,8ᵐ | 0,58 |
| Плутон / Pluto | 39,482 | 5906,4 | 248,09 | 90 613 | 0,249 | 2 374 | 0,0130 | 1,86 | 0,61 | 15,1ᵐ | 0,6 |
| Makemake / Makemake | 45,436 | 5906,4 | 306,28 | 111 867 | 0,163 | 1 502 | 0,003 | 1,70 | 0,40 | 0,77 | |
| Эрида / Eris | 67,668 | 10210 | 557 | 203 500 | 0,441 | 2 326 | 0,0167 | 2,52 | 0,68 | 0,90 |
**) Для внешних планет и Луны – в среднем противостоянии. / For outer planets and Moon – in mean opposition.
Данные о некоторых звёздах / Data of some stars
| Звезда / Star | Обозначение | R.A. | DEC | Расстояние / Distance | Зв. вел. / Mag. | Температура / Temperature | Масса / Mass |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Солнце / Sun | ☉ | 0ʰ–24ʰ | -23°26′–+23°26′ | 1 au | -26ᵐ.74 | 5777 K | 1 M☉ |
| Бетельгейзе / Betelgeuse | α Ori | 05ʰ 55ᵐ 10ˢ | 07° 24′ 25″ | 197 pc | 0ᵐ.5 | 3590 K | 11.6 M☉ |
| Альфа Центавра / Alpha Centauri | α Cen | 14ʰ 39ᵐ 36ˢ | -60° 50′ 07″ | 1.33 pc | -0ᵐ.01 / 1ᵐ.33 | 5810 K / 5260 K | 1.11 M☉ / 0.93 M☉ |
Некоторые константы и формулы / Some constants and formulae
| Величина / Quantity | Значение |
|---|---|
| Скорость света в вакууме, c (м/с) / Speed of light in vacuum | 299 792 458 |
| Гравитационная постоянная, G (Н·м²/кг²) / Constant of gravitation | 6.674·10⁻¹¹ |
| Солнечная постоянная, A (Вт/м²) / Solar constant | 1367 |
| Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк) / Hubble parameter, mean; range | 68; 50–100 |
| Постоянная Планка, h (Дж·с) / Planck constant | 6.626·10⁻³⁴ |
| Заряд электрона, e (Кл) / Charge of electron | 1.602·10⁻¹⁹ |
| Масса электрона, mₑ (кг) / Mass of electron | 9.109·10⁻³¹ |
| Соотношение масс протона и электрона / Proton-to-electron mass ratio | 1836.15 |
| Постоянная Фарадея, F (Кл/моль) / Faraday constant | 96 485 |
| Магнитная постоянная, μ₀ (Гн/м) / Magnetic constant | 1.257·10⁻⁶ |
| Универсальная газовая постоянная, R (Дж/моль/К) / Universal gas constant | 8.314 |
| Постоянная Больцмана, k (Дж/К) / Boltzmann constant | 1.381·10⁻²³ |
| Постоянная Стефана-Больцмана, σ (Вт/м²/К⁴) / Stefan-Boltzmann constant | 5.670·10⁻⁸ |
| Константа смещения Вина, b (м·К) / Wien’s displacement constant | 0.002897 |
| Лабораторная длина волны Hα (Å) / Laboratory wavelength | 6562.81 |
| Длина тропического года, T (сут) / Tropical year length | 365.242199 |
| Длина сидерического года, T (сут) / Sidereal year length | 365.25636 |
| Длина аномалистического года, T (сут) / Anomalistic year length | 365.259636 |
| Период обращения узлов лунной орбиты (лет) / Nodal period of lunar orbit | -18.6 |
| Стандартная атмосфера (Па) / Standard atmosphere | 101 325 |
| Ослабление видимого света слоем 1 атмосферы (минимально) / Visible light extinction in zenith | 19%, 0.23ᵐ |
| Высота однородной атмосферы (м) / Height of homogeneous atmosphere | 7991 |
| Показатель преломления воды при 20°C, n / Refractive index of water | 1.334 |
| Момент инерции шара / Moment of inertia of a solid ball | I=²⁄₅MR² |
| Момент инерции сферы / Moment of inertia of sphere | I=²⁄₃MR² |
| Объём шара / Volume of a ball | V=⁴⁄₃πR³ |
| Площадь сферы / Area of sphere | S=4πR² |
| π | 3.14159265 |
| e | 2.71828183 |
| Золотое сечение, φ / Golden ratio | 1.61803399 |
Official solution and grading sources
The official preliminary solution is retained in its original Russian; English general and applicable beta or joint alpha/beta jury criteria are provided separately. Alpha-only grading sheets are excluded.
Source limitations
The official PDF ends after the second factor in solution 5. Its solution 2 graph is clipped at the original page boundary. The printed dates “17 июня 613 г.” and “16 июня” in solution 4.5 are retained, as are the inconsistent sub-point allocations in general criteria 4.1 and 4.2.
Теоретический тур. Предварительные решения. Только для работы жюри
Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.
Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.
Условие
Even more surprising, but nonetheless, a possible explanation for this phenomenon may be the end of the occultation of a bright comet by the Moon in thin crescent phase. Then the warriors can see how the comet comes out from behind the illuminated part of the Moon and two crescents break up in the sky. In this case:
4.1.
At what time of day could this phenomenon have been observed?
4.2.
In what constellation could this phenomenon have been observed?
4.3.
For which of the two armies the omen has given more fright? Why?
4.4.
Include an artistic picture with an image of warriors before the battle. Necessary sizes or angular sizes should be pointed out in the picture.
4.5.
Calculate (or explain what data is missing for the calculation), in which of the 15 days of standing armies before the battle, could this phenomenon have been observed.
Решение
αβ-4. Небесное предзнаменование. Луна и комета. Адрианополь находится в северном полушарии, все рассуждения и направления приведены для северного полушария.
4.1.
Луна по орбите движется справа налево относительно звёзд и планет. Значит, комета может выходить из-за освещённой части Луны только тогда, когда освещена её правая часть, то есть, при растущей Луне, а значит – вечером.
4.2.
Если мы говорим о тонком серпике Луны, сравнимом по яркости с кометой, то возраст Луны – максимум 2,5 суток. Значит Луна находится левее Солнца на расстоянии не более, чем . В период 15-дневного стояния с 7 по 22 июня Солнце находится в созвездии Тельца, а Луна, соответственно – в созвездии Близнецов.
4.3.
Предзнаменование произошло на заходе Солнца. Луна в этом случае была на западе или даже северо-западе, поскольку дело происходит в середине лета. Таким образом, византийская армия видела это явление впереди, а болгарская – сзади. Далее рассуждения могут быть различными. В летописях чаще описываются ситуации, когда армия, видя впереди нехороший символ, разворачивалась и отступала. По этой логике напуганными должны были быть греки. Но кто-то может предположить, что больше было напуганы болгарские воины, поскольку это им «нож в спину».
4.4.
Художественный рисунок.
4.5.
В качестве реперной временной точки возьмём вечер 3 октября 2016 года в Пампорово, когда на небе был виден очень тонкий серпик растущей Луны. Посчитаем, сколько дней прошло с 22 июня 813 года по 3 октября 2016 года.
Найдём, сколько лунных месяцев прошло за это время. Для это надо это число дней разделить на синодический период Луны. Мы помним, что он примерно равен 29,5 суткам, немного точнее – 29,53 суток.
по дробной части этого числа мы можем узнать разность фаз Луны и получить, что такая же фаза была 17 июня 613 г. Однако это грубая ошибка. Если мы берем синодический период Луны равным 29,53 суток, то погрешность составляет 0,005 суток на один лунный месяц. Умножив число прошедших месяцев на эту погрешность, получаем общую погрешность в суток. Таким образом, такой серпик был виден 16 июня плюс-минус 74 дня.
Для получения ответа с точностью хотя бы один день, мы должны уменьшить погрешность синодического периода хотя бы на два порядка, то есть, использовать значение с ещё хотя бы двумя значащими цифрами.
Это возможно. В таблицах у нас есть период обращения Луны с шестью значащими цифрами и длина сидерического года с восемью значащими цифрами. Используя эти данные можно найти синодический период Луны с шестью значащими цифрами:
С учётом этой точности
по дробной части этого числа мы понимаем, что 22 июня фаза Луны была близка к полнолунию, а описанный серпик мог быть виден за 13,9 суток (плюс-минус ¾ суток) до 22 июня. То есть, получается, что явление наблюдалось на небе 7-9 июня, то есть, в самом начале стояния.
Basic criteria — αβ-4
| № / Abbreviation | Explanations of grading sub-points | Points |
|---|---|---|
| 4.1 | 2 pt, including: The comet goes from under the right side of the Moon — 2 pt; Evening — 1 pt | 2 |
| 4.2 | 2 pt, including: Position of the Sun and the Moon relative the Sun — 2 pt; Gemini — 1 pt | 2 |
| 4.3 | The Moon in the west or north-west and any answer based on this fact | 1 |
| 4.4 | Artistic drawing | 1 |
| 4.5 | 2 pt for the total full solution and dates of June 7–9, not more 1 pt for partial solution | 2 |
Evaluation criteria — Kanchan Chowdhury (IN)
| № / Abbreviation | Explanations of grading sub-points | Points |
|---|---|---|
| 4.1 | Timing for observing the phenomenon and phases of moon | 2 |
| 4.2 | Position of moon & sun | 2 |
| 4.3 | The Byzantine army saw this phenomenon in front; Bulgarian army saw this phenomenon from behind | 1 |
| 4.4 | Artistic drawing | 1 |
| 4.5 | What data is missing; dates of June | 1; 1 |
Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt).
Evaluation criteria — V. Nagnibeda (RU), β-4
| № / Abbreviation | Explanations of grading sub-points | Points |
|---|---|---|
| 1 | Evening — 1; the comet goes from the right side of Moon — 1 | 2 |
| 2 | The constellations: Gemini, Cancer | 1 |
| 3 | The Moon in the north-west — 1; Greek army saw the event — 1 | 2 |
| 4 | Artistic drawing with correct position of the Moon + comet | 1 |
| 5 | Full solution and dates of June 7–9 — 2; partial solution — 1 | 2 |
Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt).
Evaluation criteria — YooJea Kim (Korea), β-4
| № / Abbreviation | Explanations of grading sub-points | Points |
|---|---|---|
| 1 | The relative configuration and motion of Sun, Moon and comet | 1 |
| 2 | In the evening | 1 |
| 3 | Position of Sun in Taurus during 7–22 June | 0.5 |
| 4 | Position of Moon relative to Sun [crossed-out “in Gemini during 7–22 June” retained as a source correction] | 0.5 |
| 5 | Position of Moon in Gemini constellation during 7–22 June | 1 |
| 6 | The Moon in W or NW | 1 |
| 7 | Artistic drawing | 1 |
| 8 | Calculations including synodic period of Moon, considerations of leap years, etc., with any reasonable considerations of other factors | 1 |
| 9 | It was observed on June 7–9, 813 in the beginning of standing | 1 |
Equivalent correct parts of other ways of solution: 8. Extra conclusions or correct additions (add. to 8 pt).
Оригинал в Архива: betatheo1.png · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: betatheo2.png · допълнителни данни: instructions.png · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png · допълнителни данни: theocriteria.pdf · допълнителни данни: criteria1.pdf · допълнителни данни: criteria2.pdf · допълнителни данни: criteria3.pdf