Съдържание

IAO 2019, Практически тур — Задача 6 (α). Астероид 2110GD37 — группа α

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2019

XXIV International Astronomy Olympiad — Задачи практического тура · 10 т.

Source availability / Неполнота источника

Рисунки 6.1 и 6.2, необходимые для измерений в задаче 6, отсутствуют в архивном файле условий. В решении сохранён размеченный рис. 1; он не заменяет исходные неразмеченные рисунки. Решение варианта β обрывается после направления начальной скорости α≈54°; модуль скорости, скорость встречи и формулы построения фокуса не приведены. На официальном ответном изображении к задаче 7 отсутствует линия эклиптики, о чём предупреждает сам текст решения.

Language and printed-source notes

Conditions are Russian; the matched official solutions use Romanian for task 6 and English for task 7. Task 7 is identical in the α and β editions and is represented once; the distinct task-6 variants remain separate. The asteroid solution changes the measured radius from 153 to 155 mm and uses Earth mass 5.972×10²⁴ kg rather than the data sheet’s 5.974×10²⁴ kg. The printed analemma formula A=−η sin φ is retained. The source’s figure numbering is retained, including the absent Fig. 6 reference.

Условие

В Вашем распоряжении: ножницы, нить, циркуль, линейка, транспортир.

Если траектория астероида 2110GD37 останется той же, что и сейчас, то в декабре 2019 года астероид будет серьёзно угрожать Земле.

В случае опасности специалисты рассматривают возможность запуска снаряда с искусственного спутника Земли с целью либо уничтожения астероида до того, как он приблизится к Земле, либо изменения его траектории на более удалённую от Земли.

Орбита снаряда P изображена в масштабе на рисунке 6.1. Точка E — Земля и фокус F₁ орбиты снаряда. Положения S и A снаряда соответствуют моментам запуска со спутника $t_0$ и перехвата астероида $t$ .

Известно, что $r=30010{,}88$ км, $\Delta\theta=46^\circ$ (рис. 6.2).

Проведя измерения на рисунках и расчёты:

6.1 Найдите параметры эллиптической орбиты снаряда: большую полуось $a$ , малую полуось $b$ , эксцентриситет $e$ , расстояние до перигея $r_{\min}$ , расстояние до апогея $r_{\max}$ .

6.2 Найдите орбитальный период снаряда вокруг Земли $T$ (если тот по какой-то причине пролетел мимо астероида).

6.3 Найдите продолжительность $\Delta t=t-t_0$ движения снаряда из точки S в точку A.

6.4 Найдите расстояние $d_{SA}$ между точками S и A и путь $L_{SA}$ , пройденный снарядом с момента его запуска со спутника S до встречи с астероидом A.

Constants / Постоянные

$G=6.674\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ ; $M_E=5.974\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$ .

Решение

Rezolvare

Marked orbital ellipse and measurement grid from the official solution — Fig. 1. Se folosește numai pt măsurători. Nu se predă.

αβ.1–1.

Pentru stabilirea elementelor orbitei eliptice a proiectilului (semiaxa mare, $a$ ; semiaxa mică, $b$ ; excentricitatea, $e$ ; distanța minimă, $r_{\min}$ ; distanța maximă, $r_{\max}$ ), știind că:

r=30010{,}88\ \mathrm{km};\quad r_{\text{măsurat desen}}=153\ \mathrm{mm},

rezultă că scara tuturor dimensiunilor geometrice liniare, în desenul din figura 1 este:

S=\frac r{r_{\text{măsurat desen}}}=\frac{30010{,}88}{153}\ \mathrm{km/mm},

astfel încât obținem:

r_{0\,\text{măsurat desen}}=133\ \mathrm{mm};\quad r_0=r_{0\,\text{măsurat desen}}S=26087{,}88\ \mathrm{km};

r_{\text{măsurat desen}}=153\ \mathrm{mm};

2a_{\text{măsurat desen}}=200\ \mathrm{mm};\quad a_{\text{măsurat desen}}=100\ \mathrm{mm};\quad a=a_{\text{măsurat desen}}S\approx19614{,}95\ \mathrm{km};

2b_{\text{măsurat desen}}=148\ \mathrm{mm};\quad b_{\text{măsurat desen}}=74\ \mathrm{mm};\quad b=b_{\text{măsurat desen}}S\approx14515{,}06\ \mathrm{km};

2c_{\text{măsurat desen}}=134\ \mathrm{mm};\quad c_{\text{măsurat desen}}=67\ \mathrm{mm};\quad c=c_{\text{măsurat desen}}S\approx13142{,}01\ \mathrm{km};

e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{b_{\text{măsurat desen}}^2}{a_{\text{măsurat desen}}^2}}\approx0{,}67;

r_{\min\,\text{măsurat desen}}=33\ \mathrm{mm};\quad r_{\min}=r_{\min\,\text{măsurat desen}}S\approx6472{,}93\ \mathrm{km};\quad r_{\min}=a(1-e);

r_{\max\,\text{măsurat desen}}=167\ \mathrm{mm};\quad r_{\max}=r_{\max\,\text{măsurat desen}}S\approx32756{,}97\ \mathrm{km};\quad r_{\max}=a(1+e).

αβ.1–2.

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3;\qquad m\ll M;\qquad T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

M=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg};\quad G=6{,}674\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}};\quad\pi=3{,}14159265;\quad a=19614{,}95\ \mathrm{km}.

T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}=2\cdot3{,}14159265\sqrt{\frac{19614{,}95^3\cdot10^9}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}}}\ \mathrm{s}=27340{,}57\ \mathrm{s};

T=455{,}67\ \mathrm{min}=7{,}59\ \mathrm{h}.

αβ.1–3.

Pe elipsa de transfer din figura 1 se construiește segmentul $SH\perp EA$ , reprezentând înălțimea triunghiului ESA și se măsoară pe desen lungimea acestui segment:

(SH)_{\text{măsurat desen}}=h_{\text{măsurat desen}}=98\ \mathrm{mm}.

\Sigma_{\text{elipsă transfer}}=\pi ab=\pi Sa_{\text{măsurat desen}}Sb_{\text{măsurat desen}}=\pi S^2a_{\text{măsurat desen}}b_{\text{măsurat desen}};

\Sigma_{\text{sector elipsă}}=\Sigma_{\Delta ESA}+\Sigma_{\text{segment elipsă}};

\Sigma_{\Delta ESA}=\frac12rh=\frac12Sr_{\text{măsurat desen}}Sh_{\text{măsurat desen}}=\frac12S^2r_{\text{măsurat desen}}h_{\text{măsurat desen}}.

Pentru calculul lui $\Sigma_{\text{segment elipsă}}$ , prin numărare și întregire, apreciem că acolo există $n=100$ mici pătrate, fiecare cu lungimea laturii $l_{\text{măsurat desen}}=5\ \mathrm{mm}$ , astfel încât, corespunzător aceleeași scări, $S$ , rezultă:

\Sigma_{\text{segment elipsă transfer}}=nSl_{\text{măsurat desen}}Sl_{\text{măsurat desen}}=nS^2l_{\text{măsurat desen}}^2.

În aceste condiții, rezultă:

\Sigma_{\text{sector elipsă transfer}}=\Sigma_{\Delta ESA}+\Sigma_{\text{segment elipsă}}=\frac12S^2r_{\text{măsurat desen}}h_{\text{măsurat desen}}+nS^2l_{\text{măsurat desen}}^2.

În acord cu legea a doua a lui Kepler (legea ariilor), rezultă:

T\ \ldots\ \Sigma_{\text{elipsă transfer}};\qquad\Delta t\ \ldots\ \Sigma_{\text{sector elipsă transfer}};

\Delta t=\frac{\Sigma_{\text{sector elipsă transfer}}}{\Sigma_{\text{elipsă transfer}}}T,

reprezentând durata deplasării proiectilului P până la întâlnirea cu asteroidul A.

În aceste condiții, rezultă:

\Delta t=\frac{\frac12S^2r_{\text{măsurat desen}}h_{\text{măsurat desen}}+nS^2l_{\text{măsurat desen}}^2}{\pi S^2a_{\text{măsurat desen}}b_{\text{măsurat desen}}}T=\frac{\frac12r_{\text{măsurat desen}}h_{\text{măsurat desen}}+nl_{\text{măsurat desen}}^2}{\pi a_{\text{măsurat desen}}b_{\text{măsurat desen}}}T;

r_{\text{măsurat desen}}=155\ \mathrm{mm};\quad h_{\text{măsurat desen}}=98\ \mathrm{mm};\quad l_{\text{măsurat desen}}=5\ \mathrm{mm};\quad n=100;

a_{\text{măsurat desen}}=100\ \mathrm{mm};\quad b_{\text{măsurat desen}}=74\ \mathrm{mm};\quad T=455{,}67\ \mathrm{min}=7{,}59\ \mathrm{h};\quad\pi=3{,}14159265;

\Delta t=\frac{\frac12\cdot155\ \mathrm{mm}\cdot98\ \mathrm{mm}+100\cdot25\ \mathrm{mm^2}}{3{,}14159265\cdot100\ \mathrm{mm}\cdot74\ \mathrm{mm}}\cdot7{,}59\ \mathrm{h}=\frac{155\cdot49+100\cdot25}{3{,}14159265\cdot100\cdot74}\cdot7{,}59\ \mathrm{h}=3{,}29\ \mathrm{h}.

α.1.

d_{SA\,\text{măsurat desen}}=115\ \mathrm{mm};\quad d_{SA}=d_{SA\,\text{măsurat desen}}S\approx22549{,}01\ \mathrm{km}.

Se modelează un fir de-a lungul sectorului elipsei cuprins între punctele S și A. Măsurând lungimea acestui fir, rezultă:

l_{SA\,\text{măsurat desen}}=135\ \mathrm{mm};

l_{SA}=l_{SA\,\text{măsurat desen}}S=135\ \mathrm{mm}\cdot\frac{30010{,}88\ \mathrm{km}}{153\ \mathrm{mm}}\approx26480{,}18\ \mathrm{km}.

Practical round. Sketches for solutions. For jury job ONLY

Note. The given sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations to students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 10 pts) may be shorter (and without any word, of course).

Note. Jury members should evaluate the student’s solutions in essence, and not by looking on formal existence the mentioned sentences or formulae. The formal presence of the mentioned positions in the text is not necessary to give the respective points. Points should be done if the following steps de facto using these positions.

Marking scheme

Marking scheme: proposed to be elaborated by the actual Jury members. Total number of points is 10 for each of two problems of the Practical round.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Небесна механика · Орбитално движение

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: pract.pdf · официални решения: practsol.pdf