Съдържание

Условие Часть 1. Продольные колебания.Часть 2. Крутильные колебания.Отговори Решение

IEPhO 2017, Експеримент, 10. клас — Задача 4. Пружинный маятник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2017

5th International Experimental Physics Olympiad — 2017 · Второй тур · 10 класс · Пружинный маятник · В этой задаче нужно оценивать погрешности!

Условие

В этой задаче нужно оценивать погрешности!

Оборудование. Пружина; струбцина для крепления пружины к столу; секундомер; пластиковая бутылка; мензурка; вода; крутильный маятник.

Задание.

Теорию колебаний вы будете изучать через год, но сегодня вам предстоит подучить формулы для периодов колебаний экспериментально!

Крутильный маятник: пружина, пластиковая трубка и резьбовая шпилька с двумя симметрично расположенными гайками; x — расстояние между гайками.

Часть 1. Продольные колебания.

В качестве груза используйте бутылку, в которую с помощью мензурки добавляйте известное количество воды. Плотность воды — 1.0 г/см $^3$ . Бутылку подвесьте к пружине. Для крепления бутылки к пружине используйте пробку от бутылки с двумя отверстиями под пружину. Конец пружины должен проходить через оба отверстия в пробке.

1. Исследуйте зависимость периода продольных (вверх–вниз) колебаний от массы воды, налитой в бутылку.

2. Период этих колебаний зависит от массы груза $m$ и жесткости пружины $k$ в соответствии с формулой $T = Cm^{\alpha}k^{\beta}$ , где $C$ — безразмерный коэффициент. Используя метод размерностей, определите показатели степеней $\alpha$ , $\beta$ в этой формуле.

3. Используя полученные экспериментальные данные подтвердите полученную зависимость периода колебаний от массы воды в бутылке. Постройте график измеренной зависимости в таких координатах, что бы эта зависимость была линейной.

4. С помощью построенного графика определите массу пустой бутылки и безразмерный коэффициент $C$ в формуле для периода колебаний. Оцените погрешность найденных значений.

Часть 2. Крутильные колебания.

Крутильный маятник представляет собой металлическую шпильку с резьбой, на которую симметрично навинчиваются гайки, расстояние между которыми, обозначим $x$ . Для крепления маятника к пружине используется пластиковая трубка с двумя отверстиями. Нижний виток пружины должен проходить через оба отверстия (см. Рис.1).

Прикрепите к пружине описанный крутильный маятник.

1. Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между гайками $x$ .

2. Предложите формулу, описывающую полученную зависимость.

3. На основании результатов измерений подтвердите справедливость вашей формулы. Для чего постройте график измеренной зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным.

4. Найдите численные значения параметров в вашей формулу. Оцените их погрешность.

Отговори

Решение

Решение.

Часть 1. Продольные колебания

1 Снимем зависимость периода продольных колебаний стержня от объема воды в бутылке. Для этого с помощью мензурки нальём в бутылку воду объемом $V$ и выведем маятник из положения равновесия. Для повышения точности эксперимента предлагается измерять $N$ периодов колебаний, причем каждое измерение повторять по 3 раза, после чего значение периода колебаний при данном объеме $V$ будем считать как среднее из $t_{1-3}$ . Результаты измерений представлены в таблице.

$N$ , шт	$t_1$ , с	$t_2$ , с	$t_3$ , с	$t$ , с	$T$ , с	$V$ , мл	$T^2$ , с $^2$
20	9.84	9.87	9.82	9.84	0.49	50	0.24
10	6.22	6.19	6.28	6.23	0.62	100	0.39
10	7.25	7.06	7.22	7.18	0.72	150	0.52
10	8.16	8.22	8.22	8.20	0.82	200	0.67
10	8.87	9.03	9.03	8.98	0.90	250	0.81
10	9.63	9.54	9.63	9.60	0.96	300	0.92
10	10.34	10.28	10.35	10.32	1.03	350	1.07
10	10.91	10.84	10.88	10.88	1.09	400	1.18
10	11.65	11.68	11.59	11.64	1.16	450	1.35
10	12.25	12.31	12.34	12.30	1.23	500	1.51

2 Найдем $\alpha$ и $\beta$ с помощью метода размерностей:

T = Cm^{\alpha}k^{\beta}

[T] = \text{с} \quad [m] = \text{кг} \quad [k] = \text{Н/м} = \text{кг/с}^2

Отсюда получаем, что:

\beta = -\frac{1}{2} \quad \alpha = \frac{1}{2}

T = C\sqrt{\frac{m}{k}}

3 Из выведенной нами теоретической зависимости следует, что график $T^2(V)$ должен быть линейным. Рассчитаем для каждого $T$ соответствующий ему $T^2$ и построим экспериментальный график зависимости $T^2(V)$ .

График $T^2$ (с²) по вертикали от $V$ (мл) по горизонтали с точками данных и линией тренда, ось V от 50 до 550 мл, ось T² от 0.2 до 1.6 с².

4 Как видно, график является линейным, что подтверждает теоретическую модель. Из параметров графика определим коэффициент $C$ (угловой коэффициент) и массу пустой бутылки (точка пересечения с осью ординат):

C = (6.22 \pm 0.26) \qquad m_{\text{бут}} = (37.5 \pm 1.8)\ \text{г}

Часть 2. Крутильные колебания

Повернем стержень со шпилькой вокруг оси симметрии на малый угол и отпустим. Заметим, что в системе установились колебания, которые отличаются от тех, что мы наблюдали в первом пункте.

Теперь периодически изменяется угол поворота системы «стержень – шпилька» вокруг оси симметрии. Такое движение носит название крутильных колебаний.

Снимем зависимость периода крутильных колебаний от расстояния $x$ между гайками. Результаты измерений представлены в таблице.

$N$ , шт	$t_1$ , с	$t_2$ , с	$t_3$ , с	$t$ , с	$T$ , с	$L$ , см	$L^2$ , см $^2$	$T^2$ , с $^2$
5	27.38	27.44	27.32	27.38	5.48	14.7	216.09	29.99
5	24.5	24.63	24.63	24.59	4.92	12.7	161.29	24.18
5	21.73	21.75	21.75	21.74	4.35	10.7	114.49	18.91
5	19.34	19.37	19.38	19.36	3.87	8.7	75.69	15.00
5	17.16	17.22	17.13	17.17	3.43	6.7	44.89	11.79
5	15.34	15.34	15.18	15.29	3.06	4.7	22.09	9.35
5	13.93	13.93	13.93	13.93	2.79	2.7	7.29	7.76
5	13.56	13.53	13.53	13.54	2.71	1.3	1.69	7.33

1 Из уравнений динамики вращательного движения следует, что $T^2 \sim I$ , где $I$ — момент инерции системы. Он складывается из моментов инерции тел относительно осей, проходящих через их центры масс, и добавки $2m_{\text{г}}\left(\dfrac{L}{2}\right)^2$ , следующей из теоремы Гюйгенса–Штейнера. Таким образом график $T^2(L^2)$ должен быть линейным, а сама зависимость $T(L)$ имеет вид: $T = A\sqrt{L^2 + L_0^2}$ , где $A$ и $L_0$ — какие-то постоянные размерные величины.

2 Построим график $T^2(L^2)$ :

График $T^2$ (с²) по вертикали от $L^2$ (см²) по горизонтали с точками данных и линией тренда, ось L² от 0 до 220 см², ось T² от 6 до 30 с².

3 Как видно, экспериментальная зависимость $T^2(L^2)$ является линейной, что подтверждает предложенную выше теоретическую модель. Рассчитаем параметры нашей теоретической зависимости через угловой коэффициент и точку пересечения с осью ординат полученного графика. $A = \sqrt{k} = (32.5 \pm 1.8)\cdot 10^{-2}$ с/см, а $L_0 = \dfrac{k}{b} = (66.2 \pm 3.4)$ см.

Оригинал в Архива: 10_4_2017_problem.pdf · официални решения: 10_4_2017_sol.pdf