Съдържание

Условие Часть 1. Введение Часть 2. Экспериментальная часть Отговори Решение

IEPhO 2017, Експеримент, 10. клас — Задача 5. Очень жесткая пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2017

5th International Experimental Physics Olympiad — 2017. Третий тур. 10 класс. Очень жесткая пружина

Условие

В этой задаче нужно оценивать погрешности!

Оборудование. Стальная пружина; динамометр ( $F_{max} = 5$ Н); линейка 30 см; мерная лента; нихромовая проволока 150 см; нить 25 см; две струбцины; пластинки под струбцины.

Двухсторонний скотч, кусачки, ножницы по требованию.

Часть 1. Введение

Цилиндрические пружины обычно изготавливаются из стальной проволоки, обладающей необходимыми упругими свойствами. Так, из стальной проволоки изготовлена, например, пружина в динамометре, который используется в данной работе.

Коэффициент жёсткости $k = \Delta T/\Delta l$ пружины определяется как её геометрическими параметрами, так и упругими свойствами стали. Для цилиндрической пружины, содержащей $N$ витков, коэффициент жёсткости можно рассчитать по формуле:

k = \frac{G}{N}\frac{d^4}{8D^3}, \qquad (1)

где $G$ — некоторая константа, характеризующая упругие свойства стали (модуль сдвига стали); $d$ — диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина; $D$ — диаметр витков пружины. Эта формула справедлива, если проволока тонкая ( $d \ll D$ ). Если же это условие не выполняется и проволока довольно толстая ( $d/D \simeq 0.1 \div 0.3$ ), то для оценки жёсткости пружины по формуле (1) следует брать не внешний и не внутренний, а средний диаметр витков пружины.

В данной работе требуется экспериментально определить коэффициент жёсткости $k$ очень жёсткой стальной пружины и сравнить полученное значение жёсткости с теоретической оценкой жёсткости $k_{\text{т}}$ .

Часть 2. Экспериментальная часть

1. Снимите экспериментальную зависимость натяжения пружины $T$ от величины её деформации $\Delta l$ . Подробно опишите методику измерений и зарисуйте схему вашей экспериментальной установки.

2. Постройте график $T(\Delta l)$ . На основании этого графика сделайте вывод о выполнимости закона Гука для вашей пружины. По результатам эксперимента определите коэффициент жёсткости $k$ стальной пружины.

3. Сделайте оценку $k_{\text{т}}$ стальной пружины, используя формулу (1). Сравните оценку $k_{\text{т}}$ с экспериментальным значением $k$ .

4. Оцените модуль сдвига $G$ для стали.

Примечание. Ножницами проволоку не резать! Для этого есть кусачки.

Отговори

Решение

Решение.

Часть 2. Экспериментальная часть

1.

Сначала убеждаемся в том, что жёсткость исследуемой пружины существенно превосходит жёсткость пружины динамометра. Даже при максимальной силе $F_{max} = 5$ Н, на которую рассчитан динамометр, деформация исследуемой пружины не превышает долей миллиметра. Это означает, что имеющееся оборудование (динамометр и линейка) не позволяет непосредственно определить коэффициент жёсткости пружины по зависимости $F(\Delta l)$ .

Для проведения измерений соберём установку, которая позволяет значительно увеличить создаваемое динамометром $F$ усилие, а также измерять небольшие деформации пружины $\Delta l$ . Фотография экспериментальной установки показана на рис. 1.

Фотография стола: вдоль дальнего края стола натянута проволока между двумя красными струбцинами, рядом лежит мерная лента; в середине стола перпендикулярно проволоке лежит динамометр на закреплённой линейке, привязанный нитью к середине проволоки. — Рис. 1. Фотография установки

Нихромовая проволока, закреплённая на струбцинах, натянута несильно, но достаточно для того, чтобы создать небольшую деформацию пружины. Расстояние между струбцинами определяется длиной стола и равно $l = 2l_0 = 116.5$ см. С помощью привязанного нитью к середине проволоки динамометра прикладываем силу $F$ в перпендикулярном к проволоке направлении. Будем снимать зависимость $F(x)$ , где $x$ — отмечаемое по закрепленной на столе линейке положение динамометра. Отклонение $\Delta x$ динамометра от положения, в котором он не оттягивает проволоку, является прогибом середины проволоки под действием силы $F$ (см. рис. 2).

Фотография крупным планом: динамометр лежит на деревянной линейке, его крючок тянет проволоку, которая проходит по столу; проволока отклонена от прямой в месте крепления. — Рис. 2. Прогиб середины проволоки

Выведем теоретическую зависимость $F(x)$ . При малых $\Delta x \ll l_0$ удлинение пружины равно:

\Delta l = 2\left(\sqrt{l_0^2 + (\Delta x)^2} - l_0\right) \simeq 2\frac{(\Delta x)^2}{2l_0} = \frac{(\Delta x)^2}{l_0} \qquad (1)

При выводе формулы растяжением нихромовой проволоки по сравнению с деформацией пружины можно пренебречь. Схема установки представлена на рис. 3.

Схема: пунктирная горизонтальная линия длиной два раза по $l_0$; из её концов под углом $\alpha$ вниз к центральной точке идут отрезки длины $l$ (в левом — пружина), вдоль них силы натяжения $T$; из центральной точки вниз направлена сила $F$ динамометра, лежащего на вертикальной линейке; прогиб по линейке обозначен $\Delta x$. — Рис. 3. Схема установки

Из условия равновесия следует, что:

F = 2T\sin\alpha

T = \frac{F}{2\sin\alpha} \qquad (2)

Воспользуемся тем, что $\alpha \ll 1$ , откуда следует, что:

\sin\alpha \simeq \operatorname{tg}\alpha \simeq \frac{\Delta x}{l_0}

Подставляя полученное выражение в (2), получаем:

T = \frac{Fl_0}{2\Delta x} \qquad (3)

Таким образом, измерив зависимость $F(x)$ , мы можем рассчитать зависимость $T(\Delta l)$ . Результаты измерений $F(x)$ и пересчет в $T(\Delta l)$ представлены ниже.

$F$ , Н	$x_1$ , см	$x_2$ , см	xm	$\Delta x$ , см	$\Delta l$ , см	$T$ , Н
0.5	53	54	53.5	12.5	0.27	11.7
1	63	65	64	23	0.91	12.7
1.5	71	72	71.5	30.5	1.6	14.3
2	78	79	78.5	37.5	2.41	15.5
2.5	84	85	84.5	43.5	3.25	16.7
3	90	91	90.5	49.5	4.21	17.7
3.5	94	95	94.5	53.5	4.91	19.1
4	99	100	99.5	58.5	5.88	19.9
4.5	103	104	103.5	62.5	6.71	21
5	106	107	106.5	65.5	7.37	22.2

Чтобы оценить, как влияет сила трения динамометра о линейку на результаты эксперимента, проведены измерения для возрастающих натяжений и для убывающих. В этих случаях сила трения направлена в противоположные стороны, и, хоть ее влияние и несущественно, за положение динамометра при заданных его показаниях будем принимать среднее между двумя его положениями.

2.

Построим график зависимости $T(\Delta l)$ .

График зависимости T(Δl): ось Δl в сантиметрах, подписи от1до8; ось T в ньютонах, подписи от12до24. Все десять экспериментальных точек и прямая сохранены вместе с заголовком графика.

Заметим, что экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую линию. Это означает, что пружина подчиняется закону Гука. w Коэффициент жёсткости, рассчитанный из наклона: $k = (14.3 \pm 0.5)$ Н/см.

3.

Оценку жёсткости пружины сделаем так. У нас имеется пружина динамометра, параметры которой легко определяются: коэффициент жесткости $k_0 = 0.50$ Н/см, число витков $N_0 = 29$ , длина $L_0 = 22$ мм, средний диаметр витков $D_0 = 14$ мм. Запишем формулу, связывающую жесткость пружину со свойствами материала, из которого она сделана и её геометрическими параметрами:

k = \frac{G}{N}\frac{d^4}{8D^3} \qquad (4)

В условии указано, что пружина в динамометре является стальной, а значит модуль сдвига $G$ у материала исследуемой пружины и пружины в динамометре один и тот же. Таким образом можно рассчитать отношение коэффициентов жесткости двух пружин, зная их геометрические параметры. Параметры исследуемой пружины: число витков $N = 30$ , длина $L = 30$ мм, средний диаметр витков $D = 6$ мм. Подставляя эти значения, получаем численное значение отношения коэффициентов жесткости двух пружин:

\frac{k_{\text{т}}}{k_0} = \left(\frac{L}{L_0}\right)^4 \left(\frac{D_0}{D}\right)^3 \left(\frac{N_0}{N}\right)^5 = 37.1 \qquad (5)

Откуда коэффициент жесткости исследуемой пруины:

k_{\text{т}} = 18.5\ \text{Н/см} \qquad (6)

Погрешность нашей оценки довольно велика и составляет, по-видимому, не менее 20% (это связано с большими степенями, с которыми в оценочную формулу входят измеряемые величины). Поэтому можно считать, что экспериментальное $k = 14.3$ Н/см и теоретическое $k_{\text{т}} = 18.5$ Н/см значения в пределах погрешности согласуются.

4.

Оценку модуля сдвига $G$ для стали сделаем, используя данные для пружины динамометра:

G = \frac{8k_0 D_0^3 N_0^5}{L_0^4} = 9.6 \cdot 10^{10}\ \text{Па} \qquad (7)

Погрешность за счет больших степеней так же составляет порядка 20%. Окончательно:

G = (9.6 \pm 1.9) \cdot 10^{10}\ \text{Па} \qquad (8)

Табличное значение для стали:

G_{\text{табл}} = (7.9...8.9) \cdot 10^{10}\ \text{Па} \qquad (9)

Оригинал в Архива: 10_5_2017_problem.pdf · официални решения: 10_5_2017_sol.pdf