Съдържание

IEPhO 2017, Експеримент, 11. клас — Задача 3. Биения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2017

5th International Experimental Physics Olympiad — 2017. Второй тур. 11 класс. Биения

Условие

Оборудование. Пружина со струбциной для крепления к столу; секундомер; крутильный маятник.

Задание.

Крутильный маятник состоит из толстого металлического стержня, на верхний конец которого прикреплена пластиковая трубка, в трубку вставлена деревянная палочка, по которой можно перемещать две гайки. В трубке проделаны два отверстия для крепления маятника к пружине.

Крутильный маятник: вертикальный металлический стержень подвешен на спиральной пружине; сверху на стержне трубка, сквозь которую проходит горизонтальная палочка с двумя гайками; расстояние между гайками обозначено стрелкой x; вертикальная двойная стрелка показывает продольные колебания, изогнутая стрелка у нижнего конца — крутильные.

Данный маятник может совершать различные типы колебаний. В данной задаче вам необходимо исследовать два из них: продольные колебания (вверх-вниз) и крутильные (вращение вокруг вертикальной оси). Эти моды колебаний взаимодействуют между собой, т.е. энергия крутильных колебаний может переходить в энергию продольных колебаний и обратно.

Легко наблюдать, что амплитуда крутильных колебаний периодически изменяется. Это эффект называется биения.

1. Измерьте с максимальной точностью период продольных колебаний. Оцените погрешность измерений.

В дальнейших пунктах задачи оценивать погрешности не требуется!

2. Измерьте зависимость периода крутильных колебаний от расстояния между гайками. Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным.

3. Измерьте зависимость периода биений от расстояния между гайками.

4. Предложите формулу для периода биений и его связи с периодами продольных и крутильных колебаний.

5. Постройте график зависимости периода биений от периода крутильных колебаний в таких координатах, чтобы он был квазилинейным.

Отговори

Решение

Решение.

Для измерения периода продольных колебаний выведем маятник из равновесия, отклонив его на небольшое расстояние вдоль вертикали. В процессе измерений будем следить за тем, чтобы маятник имел только продольную моду.

Измерим время $T$ , за которое маятник совершил $N$ колебаний. Повторим измерения 5 раз. Тогда период одного колебания может быть рассчитан по формуле:

T_1 = \frac{< T >}{N} \qquad (1)

Погрешность измерения периода может быть оценена как сумма погрешности, возникающей из-за конечного времени реакции, и случайной погрешности.

\Delta T_1 = \Delta T_{\text{реак}}/N + \Delta T_{\text{случ}} \qquad (2)

Результаты измерений периода продольных колебаний:

$T_1$ , с	8.92	9.04	8.71	9.13	8.97

Откуда $T = (0.88 \pm 0.04)$ с.

Снимем зависимость периода крутильных колебаний $T$ от расстояния между гайками $L$ . Результаты измерений представлены в таблице ниже.

$L$ , см	$N$	$t$ , с	$T$ , с	$L^2$ , см $^2$	$T^2$ , с $^2$
2.00	20	15.00	0.75	4.00	0.5625
2.50	20	15.65	0.78	6.25	0.6084
3.00	20	16.28	0.81	9.00	0.6561
3.50	20	17.03	0.85	12.25	0.7225
4.00	20	18.16	0.91	16.00	0.8281
4.50	20	18.97	0.95	20.25	0.9025
5.00	20	20.18	1.01	25.00	1.0201
5.50	20	20.97	1.05	30.25	1.1025

Из уравнений динамики вращательного движения следует, что $T^2 \sim I$ , где $I$ — момент инерции системы. Он складывается из моментов инерции тел относительно осей, проходящих через их центры масс, и добавки $2m_{\text{г}}\left(\dfrac{L}{2}\right)^2$ , следующей из теоремы Гюйгенса–Штейнера. Таким образом график $T^2(L^2)$ должен быть линейным.

Построим экспериментальный график зависимости $T^2(L^2)$ .

График $T^2$, с$^2$ (ось от 0.6 до 1.2) в зависимости от $L^2$, см$^2$ (ось от 5 до 35) на миллиметровой сетке: восемь экспериментальных точек от $L^2 = 4$ до $30.25$ и проведённая через них прямая. — Графики зависимости квадрата периода крутильных колебаний от квадрата расстояния между гайками

Снимем зависимость периода биений от расстояния между гайками. Для этого будем запускать продольную моду колебаний маятника. В начальный момент времени деревянная палочка неподвижна. Периодом биения будем считать время, за которое система вернется в исходное состояние. Результаты измерений представлены в таблице.

$x$ , см	$T_{\text{биен}}$ , c	$T_{\text{крут}}$	$T_{\text{биен}}^{-1}$ , с $^{-1}$	$T_{\text{крут}}^{-1}$ , с $^{-1}$
1	4.46	0.70	0.22	1.42
2	5.73	0.75	0.17	1.34
3	8.7	0.82	0.11	1.23
4	16.71	0.90	0.06	1.11
5	$\infty$	1.00	0.00	1.00
6	16.69	1.11	0.06	0.90
7	9.02	1.23	0.11	0.81
8	6.39	1.35	0.16	0.74

Биения возникают при сложении двух колебаний с близкими частотами. Зависимость отклонения маятника от положения равновесия в общем случае описывается формулой: $A = A_0(t)\cos(w_0 t)$ , где $A_0(t)$ — амплитуда колебаний маятника, модулированная медленным косинусом. Периодом биений называется промежуток времени между двумя последовательными узлами, т.е. точками, в которых $A_0(t) = 0$ . Известно, что частота биений выражается через частоты мод входящих колебаний по формуле: $\nu_{\text{биен}} = \left|\nu_{\text{прод}} - \nu_{\text{крут}}\right|$ . Отсюда следует, что график зависимости $\dfrac{1}{T_{\text{биен}}}\left(\dfrac{1}{T_{\text{крут}}}\right)$ должен быть квазилинейным.
Рассчитаем для каждого $L$ соответствующий период крутильных колебаний, пользуясь зависимостью, измеренной в пункте 2, и построим экспериментальный график $\dfrac{1}{T_{\text{биен}}}\left(\dfrac{1}{T_{\text{крут}}}\right)$ . Для удобства умножим значения частот биений и крутильных колебаний на $10^2$

Точечный график: по вертикали $\frac{1}{T_{\text{биен}}}\cdot 10^2$, Гц (от 2 до 24), по горизонтали $\frac{1}{T_{\text{крут}}}\cdot 10^2$, Гц (от 80 до 150); восемь точек образуют V-образную зависимость с минимумом (нулём) при 100. — Графики зависимости частоты биений от частоты крутильной моды

Заметим, что в измерениях присутствует точка, в которой биения вообще не наблюдаются. Эта точка соответствует равенству периодов колебаний крутильной и продольной моды.

Оригинал в Архива: 11_3_2017_problem.pdf · официални решения: 11_3_2017_sol.pdf