Съдържание

IEPhO 2017, Експеримент, 11. клас — Задача 5. Акустические резонаторы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2017

5th International Experimental Physics Olympiad — 2017. Третий тур. 11 класс. Акустические резонаторы

Условие

В этой задаче не требуется оценка погрешностей!

Оборудование. Компьютер с встроенным ПО и предустановленным микрофоном; трубка; резиновая пробка; вода в мерном стакане; шприц; весы; пластиковая бутылка 0.6 л; набор втулок разной высоты; набор втулок разного диаметра; беруши; штатив; штангенциркуль; линейка; термометр (один на аудиторию).

Введение.

Звук — это распространяющиеся в упругих средах (газах, жидкостях, твердых телах) механические колебания. Для возбуждения этих колебаний нужен механический источник колебаний. В роли такого источника при разговоре обычно выступают голосовые связки, расположенные в гортани. Через гортань проходит поток воздуха, которой заставляет связки колебаться (см. Рис.1). Эти колебания возбуждают звук, который мы слышим от собеседника. Частота звука регулируется натяжением связок: так для низких частот связки натянуты слабо, а для высоких сильно (см. Рис.2).

Схематический продольный разрез гортани: две волнистые стенки, между ними вверх направлены стрелки потока воздуха, у сужения — двусторонние стрелки колебаний. Подписи: «Гортань», «Голосовые связки», «Поток воздуха», «Направление колебаний связок». — Рис. 1. Вид сбоку.

Вид сверху на голосовые связки: вытянутый узкий чёрный овал с узкой щелью подписан «Высокие частоты колебаний», круглый чёрный диск с широкой щелью — «Низкие частоты колебаний». — Рис. 2. Вид сверху.

Однако, как и любая другая акустическая система, артикуляционный аппарат нуждается в усилителе или резонаторе. По сути, связки производят звук некоторой частоты или, правильнее сказать, звук определенного спектра, то есть набора некоторых частот. А резонатор, которым в случае акустической системы человека является ротовая полость, усиливает некоторые частоты из этого спектра сильнее, а некоторые слабее. Наиболее низкая сильно выраженная частота спектра называется основной; зачастую именно она определяет тон звука, который мы слышим. Более высокие сильно выраженные частоты спектра носят названия обертонов (см. Рис.3). Таким образом, музыкальные инструменты могут звучать на одной и той же ноте (той же частоте), но восприниматься человеческим ухом по-разному, так как обладают различными обертонами. С точки зрения описания звуковых колебаний во временном, а не в спектральном пространстве, осциллограмма звуков (зависимость отклонения точек среды от времени) разных инструментов на одинаковой ноте будет отличаться формой повторяющегося сигнала.

Спектр звука: по горизонтали частота в Гц в логарифмическом масштабе (10, 100, 1000, 10000), по вертикали уровень в dB от −125 до −25. Отмечены пики −30 dB 158 Hz («Основной тон»), −30 dB 480 Hz и −32 dB 961 Hz («Обертоны»). — Рис. 3. Спектр звука

Экспериментальная часть.

Часть 1 Часть 1. Осциллограммы звука.

Включите компьютер в режим снятия осциллограммы микрофона. В качестве изучаемого музыкального инструмента в этом задании будете выступать непосредственно вы. Спойте гласные звуки «а», «у», «о», «и», «э» на одной частоте из диапазона $200 - 250$ Гц. Зарисуйте соответствующие осциллограммы. Какая из пропетых вами букв наиболее соответствует чистому звуку, то есть чья осциллограмма наиболее близка к синусоидальной?

Как видно, звук разных гласных одной и той же частоты сильно отличается. Как уже говорилось выше, причиной отличия является различие в коэффициентах усиления различных обертонов. За усиление звука в механических акустических системах отвечают резонаторы. Ротовая полость является крайне сложным резонатором и не может быть изучена в короткий срок тура олимпиады, однако существуют намного более простые резонаторы, которые в дальнейшем и будут Вами изучаться.

2.1 Часть 2. Линейный резонатор.

Наиболее простой резонатор, используемый человеком для извлечения звуков — обыкновенная труба. Всем Вам известно, что существует большое множество духовых инструментов, в которых резонатором является трубка, снабженная различными технологическими устройствами для изменения частоты звучания. Чаще всего у духовых инструментов есть мундштук, который, как и связки, является первоначалом колебаний струи воздуха в инструменте. Однако, так как струя воздуха в любом случае обладает турбулентностью, а, следовательно, неоднородностью и нестационарностью потока, то даже струя воздуха, выдуваемая нами, обладает некоторым набором звуковых частот (спектром). Набор частот зависит как от характерных размеров струи, так и от ее скорости. Так, при определённых размерах обычной трубки, простое дуновение в нее уже вызывает ее звучание. То есть, в спектре струи воздуха находится резонансная частота, которую усиливает трубка, и происходит ее звучание, которые мы способны уловить ухом.

Рисунок: человек в профиль дует сверху в вертикальную трубку, приложенную к нижней губе; вокруг трубки дуги звуковых волн, над головой облако мыслей с нотным станом и скрипичным ключом. — Рис. 4. Как подуть в трубку и получить звук

Возьмите трубку, один ее конец заткните пробкой. Поднесите трубку ко рту, как показано на рис. 4. Направляя струю воздуха вниз, подуйте в трубку. Если приноровиться, то трубка начинает звучать. С помощью программы снятия спектра определите основную частоту (частоту основного тона) звучания трубки. Основная частота звучания трубки зависит от ее длины. Заливая в трубку воду, можно изменять ее эффективную длину (длину полости в трубке).

Снимите зависимость частоты звучания трубки от ее эффективной длины. Предположите координаты, в которых эта зависимость является линейной. Постройте график этой зависимости в линейных координатах. Определите его угловой коэффициент.

Примечание 1. Делайте паузы между измерениями. Слишком частое выдувание воздуха может привести к головокружению.

Примечание 2. Если у Вас не получается извлечь звук из трубки, то перейдите к Части 3.

2.2 По полученным из предыдущего упражнения данным определите скорость звука в воздухе и сравните её с теоретическим значением $C_{\text{теор}} = (\gamma RT/\mu)^{1/2}$ . Температуру воздуха внутри комнаты спросите у дежурного по аудитории. Нарисуйте распределение амплитуд колебаний воздуха внутри трубки, отсчитывая координату от закрытого конца трубки.

2.3 При выполнении пункта 1 можно заметить, что в некоторых случаях в спектре звучания трубки хорошо прослеживается первый обертон (обертон с наименьшей частотой). Каков округленный до целого коэффициент пропорциональности между частотой основного тона и первого обертона трубки? Нарисуйте распределение амплитуд колебаний воздуха внутри трубки, если бы она звучала только на частоте первого обертона, отсчитывая координату от закрытого конца трубки.

Линейный резонатор является самым простым примером акустического резонатора. Ротовая полость все же является объемным резонатором, простейший пример которого мы изучим в следующей части.

3.1 Часть 3. Объемный резонатор

В качестве объемного резонатора будем использовать пластиковую бутылку. Если в нее подуть таким же образом, как и в трубку в пункте 1 предыдущей части, то она также будет звучать на определенной частоте.

Для теоретического нахождения частоты основного тона такого резонатора воспользуемся следующей моделью. Представим, что воздух в горлышке бутылки является поршнем, закрывающим остальной воздух в бутылке. Масса поршня соответствует массе воздуха в горлышке. Такой поршень может перемещаться вдоль горлышка бутылки. При движении вниз или вверх от положения равновесия на поршень будет действовать возвращающая сила со стороны остального газа в бутылке, тем самым вызывая колебательные движения такого воздушного поршня. Запишите формулу для частоты колебаний такого поршня (частоты основного тона бутылки) через данные об объеме бутылки , высоте и диаметре горлышка бутылки. Каким процессом следует описывать сжимание газа в бутылке – изотермическим или адиабатическим?

3.2 Измерьте объем бутылки, а также диаметр и высоту горлышка бутылки.

3.3 Аналогично первому пункту предыдущего упражнения эффективный объем (объем полости) бутылки можно изменять, доливая в бутылку воду.

Снимите зависимость частоты основного тона бутылки от ее эффективного объема. Постройте исследуемую зависимость в таких координатах, в которых график будет линейным. Найдите угловой коэффициента первого пункта $A'$ графика.

Рассчитайте теоретическое значение углового коэффициента $A$ , используя результаты первого пункта. Сходятся ли полученные теоретическое и экспериментальное значение углового коэффициента?

3.4 Продолжая проверять модель, предложенную в первой пункте, снимите зависимость частоты основного тона пустой бутылки от высоты горлышка бутылки и постройте ее в таких координатах, в которых она должна получиться линейной.

Для изменения высоты горлышка используйте набор втулок разной высоты, вставляйте их в горлышко узкой частью. Для получения хорошего звучания прижимайте втулку к горлышку. Рассчитайте угловой коэффициент $B'$ полученного графика.

Рассчитайте теоретический угловой коэффициент $B$ , соответствующий модели, предложенной в первом пункте. Сходятся ли полученные теоретическое и экспериментальное значение углового коэффициента? Проходит ли полученный график через точку $(0; 0)$ ?

3.5 Снимите зависимость частоты основного тона пустой бутылки от диаметра горлышка бутылки и постройте ее в таких координатах, в которых она должна получиться линейной. Рассчитайте угловой коэффициент $C'$ полученного графика.

Рассчитайте теоретический угловой коэффициент $C$ , соответствующий модели, предложенной в первом пункте. Сходятся ли полученные теоретическое и экспериментальное значение углового коэффициента? Проходит ли полученный график через точку $(0; 0)$ ?

3.6 Результаты, полученные в пунктах $3 - 5$ , позволяют отметить, что модель, предложенная в первом пункте, является не до конца верной. Масса воздуха в горлышке бутылки является мерой инертности колебательной системы. Ясно, что кроме воздуха в горлышке бутылки вместе с ним движутся и соседние слои воздуха. Реальная инертность системы выше, чем предполагается в модели, описанной в упражнении 3.1. Улучшение модели может состоять во введении эффективной длины горлышка:

h_{\text{эфф}} = h + \Delta h(D) \qquad (1)

где $\Delta h(D)$ — это дополнительная длина горлышка, зависящая от его диаметра, описывающая присоединенную массу колеблющегося воздуха. На основе результатов пункта 5 рассчитайте зависимость дополнительной длины горлышка от его диаметра.

Отговори

Часть 1 «У», «И»

По официальному решению наиболее похожи на синус осциллограммы звуков «У» и «И».
2.1 84 м/с

Обратный угловой коэффициент зависимости $1/f(l)$ по официальному решению: $c_1 \simeq 84$ м/с.
2.2 340 м/с

Официальное решение: $C_{\text{теор}} \simeq 340$ м/с при $T = 25.0$ °C, $C_{\text{теор}}/c_1 \simeq 4$ — эффективная длина трубки равна четверти длины волны.
2.3 3

Частота первого обертона в три раза выше частоты основного тона.
3.1 $f = \frac{D}{4}\sqrt{\frac{\gamma RT}{\pi\mu Vh}}$

Сжатие газа в бутылке описывается адиабатой $PV^{\gamma} = const$ .
3.2 V = (618 ± 2) мл; h0 = (2.4 ± 0.1) см; D = (2.20 ± 0.05) см

Значения из официального решения.
3.3 0.046 с²/м³

Официальное решение: $A' = (46.0 \pm 0.7) \cdot 10^{-3}$ с²/м³; теоретическое $A = 21.2 \cdot 10^{-3}$ с²/м³ — существенное расхождение.
3.4 0.00134 с²/м

Официальное решение: $B' = (13.4 \pm 0.4) \cdot 10^{-4}$ с²/м, теоретическое $B = 12.34 \cdot 10^{-4}$ с²/м (отличие примерно 8,5%); график не проходит через точку $(0;0)$ .
3.5 6760 Гц/м

Официальное решение: $C' = (6.76 \pm 0.13) \cdot 10^3$ Гц/м, теоретическое $C = 11.33 \cdot 10^3$ Гц/м; прямая не проходит через начало координат.
3.6 $\Delta h = \frac{D^2\gamma RT}{16\pi\mu V f^2} - h_1$

По официальному решению $\Delta h$ монотонно возрастает с диаметром: от 12.2 мм при $D = 8.5$ мм до 26 мм при $D = 16$ мм.

Решение

Решение.

Часть 1. Осциллограммы звука

Три снимка экрана программы-осциллографа (Channel A, 50.0 mV, 1.00 ms), подписанные слева буквами «А», «Э», «О»: периодические несинусоидальные сигналы с частотами 244 Hz, 238 Hz и 238 Hz соответственно. — А, Э, О

Два снимка экрана программы-осциллографа (Channel A, 50.0 mV, 1.00 ms), подписанные «У» и «И»: сигналы, близкие к синусоиде, с частотами 241 Hz и 252 Hz. — У, И

Из полученных осциллограмм видно, что наиболее похожими на синус являются осциллограммы звуков «У», «И».

Часть 2. Линейный резонатор

Объем трубки измерим шприцем, он составляет $V = (80 \pm 2)$ мл. Выльем воду из трубки и закрепим ее в штативе. Доливая определенный объем воды в трубку, несложно рассчитать глубину незаполненной части трубки или ее эффективную длину. Снимем зависимость частоты звука от эффективной длины трубки. Результаты измерений представлены ниже.

$V$ , мл	$l$ , см	$\sigma_l$ , см	$f$ , Гц	$1/f \cdot 10^2$ , с
0	48.8	0.2	176	0.57
5	45.75	0.6	185	0.54
10	42.7	1	199	0.5
15	39.65	1.4	214	0.47
20	36.6	1.8	231	0.43
25	33.55	2.2	249	0.4
30	30.5	2.6	275	0.36
35	27.45	3	305	0.33
40	24.4	3.4	337	0.3
45	21.35	3.7	387	0.26
50	18.3	4.1	445	0.23
55	15.25	4.5	521	0.19
60	12.2	4.9	633	0.16

Легко предположить, что полученная зависимость гиперболическая. Построим ее в координатах обратной частоты от эффективной длины трубки.

График: по горизонтали $l$, см (от 0 до 50), по вертикали $1/f \cdot 10^2$, с (от 0 до 0.6); 13 точек с горизонтальными отрезками погрешностей лежат на прямой, возрастающей от примерно 0.02 при $l = 0$ до 0.57 при $l = 48.8$ см. — График зависимости обратной частоты звука в трубке от ее эффективной длины

Как видно, зависимость хорошо аппроксимируется прямой. Рассчитаем ее обратный угловой коэффициент:

c_1 \simeq 84\text{м/с}. \qquad (1)

По указанной в условии формуле рассчитаем теоретическое значение скорости звука в воздуха при температуре $T = 25.0\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ :

C_{\text{теор}} \simeq 340\ \text{м/с} \qquad (2)

Несложно найти связь найденного коэффициента и скорости звука:

\frac{C_{\text{теор}}}{c_1} \simeq 4 \qquad (3)

Это по сути означает, что в трубке образуется стоячая волна, а эффективная длина трубки соответствует длине четверти длины волны звука на этой частоте в воздухе. Из этих соображений совсем несложно нарисовать распределение амплитуд колебаний воздуха в трубке. На дне трубки должен устанавливаться узел стоячей волны, а на открытом конце — пучность. Требуемый график представлен ниже.

График амплитуды $A$ (от 0 до 1) от координаты $x$ (от 0 до 1): четверть синусоиды, растущая от 0 при $x = 0$ до 1 при $x = 1$. — Качественное распределение амплитуд колебаний в основном тоне.

В случае первого обертона граничные условия для стоячей волны сохраняются. Поэтому частота первого обертона в три раза выше частоты основного тона, и распределение амплитуд колебаний в такой волне имеет два узла. Качественный вид зависимости представлен ниже.

График амплитуды $A$ (от 0 до 1) от координаты $x$ (от 0 до 1): кривая $|\sin|$ с нулями при $x = 0$ и $x \approx 0.67$ и максимумами 1 при $x \approx 0.33$ и $x = 1$. — Качественное распределение амплитуд колебаний в первом обертоне.

Часть 3. Объемный резонатор

Введем обозначения: температура воздуха — $T$ , давление воздуха — $P$ , плотность воздуха — $\rho$ , показатель адиабаты воздуха — $\gamma$ , молярная масса воздуха — $\mu = 29$ г/моль, универсальная газовая постоянная — $R = 8.31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ , площадь сечения горлышка — $S$ . Масса воздушного поршня согласно уравнению состояния идеального газа может быть рассчитана, как:

m = \rho Sh = \frac{\mu PSh}{RT}. \qquad (4)

При движения поршня вниз на $x$ создается избыточное давления газа $\Delta P$ , которое можно рассчитать, исходя из уравнения адиабаты для идеального газа:

PV^{\gamma} = const \qquad (5)

\Delta P = \frac{\gamma xSP}{V} \qquad (6)

Избыточное давление создает возвращающую силу, действующую на поршень, в результате чего можно записать уравнение колебаний для воздушного поршня:’

m\ddot{x} = -\Delta PS \qquad (7)

\ddot{x} = -x\frac{S\gamma RT}{\mu Vh} \qquad (8)

Из уравнения колебаний несложно найти частоту колебаний воздуха:

f = \frac{D}{4}\sqrt{\frac{\gamma RT}{\pi\mu Vh}} \qquad (9)

Измерим геометрические размеры бутылки с помощью штангенциркуля и весов:

V = (618 \pm 2)\ \text{мл}

h_0 = (2.4 \pm 0.1)\ \text{см}

D = (2.20 \pm 0.05)\ \text{см}

Снимем зависимость частоты звука от эффективного объема в бутылке. Результаты измерений представлены ниже.

$V_{\text{добавл}}$ , мл	$V$ , мл	$f$ , Гц	$f^{-2}10^6$ , с $^2$
0	617.5	182	30.19
59.4	558.1	196	26.03
104.5	513	202	24.51
150.4	467.1	217	21.24
213.7	403.8	240	17.36
252	365.5	249	16.13
303.8	313.7	275	13.22
351.2	266.3	287	12.14
406.2	211.3	331	9.13
474.4	143.1	416	5.78
448	169.5	375	7.11
500	117.5	445	5.05

Из результатов, полученных в пункте 1, следует вывод, что в координатах $f^{-2}(V)$ зависимость должна быть линейной и проходить через ноль координат. Построим график этой зависимости.

График: по горизонтали $V$, мл (от 0 до 650), по вертикали $f^{-2} \cdot 10^6$, с$^2$ (от 0 до 30); 12 точек вблизи возрастающей прямой, пересекающей ось $V$ примерно при 30 мл. — График зависимости частоты звука от эффективного объема бутылки

Заметим, что точки хорошо аппроксимируются прямой. Найдем угловой коэффициент полученной зависимости:

A' = (46.0 \pm 0.7) \cdot 10^{-3}\ \text{с}^2/\text{м}^3 \qquad (10)

Рассчитаем теоретическое значение для данных из пунктов $1 - 2$ :

A = \frac{16\pi\mu h}{D^2\gamma RT} = 21.2 \cdot 10^{-3}\ \text{с}^2/\text{м}^3 \qquad (11)

Заметим существенное расхождение теоретического значения и экспериментального.

Снимем зависимость частоты звука от высоты горлышка при пустой бутылке. Высоту горлышка будем менять сменными втулками различной высоты.

$h$ , см	$f$ , Гц	$f^{-2} \cdot 10^6$ , с $^2$
3	123	66.1
5	104	92.5
7	91	120.8
9	84	141.7
11	76.5	170.9
13	70.25	202.6

Построим график полученной зависимости в линейных координатах $f^{-2}(h)$ в соответствии с моделью в пункте 1.

График: по горизонтали $h$, см (от 0 до 14), по вертикали $f^{-2} \cdot 10^6$, с$^2$ (от 0 до 220); 6 точек вблизи возрастающей прямой, пересекающей ось ординат примерно при 25. — График зависимости частоты звука от высоты горлышка

Найдем угловой коэффициент этого графика:

B' = (13.4 \pm 0.4) \cdot 10^{-4}\ \text{с}^2/\text{м} \qquad (12)

Рассчитаем теоретическое значение в соответствии с пунктом 1, предварительно измерив внутренний диаметр втулок $D_1 = (1.45 \pm 0.01)$ см.

B = \frac{16\pi\mu V}{D_1^2\gamma RT} = 12.34 \cdot 10^{-4}\ \text{с}^2/\text{м} \qquad (13)

Заметим, что теоретическое значение близко к экспериментальному. Отличие составляет примерно 8,5%. Также стоит отметить, что несмотря на близкое значение углового коэффициента, график полученной зависимости не проходит через точку $(0; 0)$ , что говорит о несоответствии теории и практики.

Снимем зависимость частоты звучания пустой бутылки от диаметра ее горлышка. Диаметр горлышка будем изменять втулками одинаковой высоты, но разного внутреннего сечения. Результаты измерений представлены ниже.

$D$ , мм	$f$ , Гц
8.5	80
10	92
11.5	102
13	112
14.5	122
16	131

В соответствии с теоретической формулой, полученной в пункте 1, график должен быть линейным и проходящим через ноль без преобразования координат. Построим график полученной зависимости.

График: по горизонтали $D$, мм (от 0 до 16), по вертикали $f$, Гц (от 0 до 140); 6 точек на возрастающей прямой, пересекающей ось ординат примерно при 23 Гц. — График зависимости частоты звука от высоты горлышка

Как видно, полученные точки хорошо аппроксимируются прямой, не проходящей через начало координат. Рассчитаем угловой коэффициент этой зависимости:

C' = (6.76 \pm 0.13) \cdot 10^3\ \text{Гц/м} \qquad (14)

Рассчитаем теоретическое значение (высота втулок составляет $h_1 = (3.00 \pm 0.05)$ см):

C = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{\gamma RT}{\pi\mu Vh}} = 11.33 \cdot 10^3\ \text{Гц/м} \qquad (15)

Как видно, в этом упражнение практика совсем разошлась с теорией, и даже значения угловых коэффициентов не совпадают.

Полученные в пунктах $3 - 5$ результаты можно объяснить дополнением к первоначальной теоретической модели. И действительно, если ввести дополнительную «присоединенную» высоту горлышка, то можно утверждать, что все исследуемые зависимости не будут противоречить модели. Рассчитаем на основе данных из пункта 5 зависимость дополнительной высоты горлышка от его диаметра следующим образом:

\Delta h = \frac{D^2\gamma RT}{16\pi\mu Vf^2} - h_1 \qquad (16)

$D$ , мм	$f$ , Гц	$\Delta h$ , мм
8.5	82	12.2
10	91	14.2
11.5	100	17.6
13	105	20.5
14.5	111	23
16	117	26

Построим график полученной зависимости. Как видно, график является монотонно-возрастающей функцией.

Схема бутылки с объёмом $V$ и давлением $P$; в горлышке диаметра $D$ и высоты $h$ заштрихован воздушный поршень, смещённый вниз; справа вертикальная ось $x$, направленная вниз, с отметками 0 и $x$. — Рис. 1. Колебания воздуха в бутылке

График: по горизонтали $D$, мм (от 0 до 16), по вертикали $\Delta h$, мм (от 0 до 28); 6 точек на возрастающей прямой, пересекающей ось $D$ примерно при 2.2 мм. — График зависимости дополнительной высоты горлышка от его диаметра

Оригинал в Архива: 11_5_2017_problem.pdf · официални решения: 11_5_2017_sol.pdf