Съдържание

IEPhO 2017, Експеримент, 9. клас — Задача 6. Забивание гвоздей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2017

5th International Experimental Physics Olympiad — 2017 · Третий тур · 9 класс · Забивание гвоздей · В этой задаче не нужно оценивать погрешности!

Условие

Оборудование. Анкерный болт с трубкой; штатив; линейка; кусок пластилина; маленький и большой гвозди;

Схема установки: болт, проходящий через трубку, закрепленную в штативе; ниже гвоздь длиной L, вставленный в кусок пластилина на глубину h.

Задание

Закрепите трубку анкерного болта в лапке штатива, при этом болт должен свободно проходить через трубку. Ниже прикрепите кусок пластилина со вставленным в него гвоздем. При отпускании болта он должен ударять по шляпке гвоздя. Постоянно регулируйте положение трубки, чтобы высота удара оставалась приблизительно постоянной.

1.1 Можно считать, что при движении гвоздя в пластилине на него действуют две силы: постоянная сила $F_0$ , действующая на острие гвоздя, и сила трения, действующая на его боковую поверхность. Эта сила пропорциональна глубине погружения гвоздя $h$ : $F_{тр} = fh$ .

Постройте схематический график зависимости суммарной силы сопротивления, действующей на гвоздь от глубины его погружения $h$ .

1.2 Считайте, что при каждом ударе болт сообщает гвоздю одну и ту же энергию $E_0$ . Получите зависимость числа ударов $n(h)$ , которое потребуется, чтобы забить гвоздь на глубину $h$ , при условии, что начальная глубина погружения равна $h_0$ .

2.1 Сначала проведите измерения с гвоздем меньшего диаметра. Вдавите гвоздь в пластилин на глубину $h_0 = 5.0$ мм. В этом эксперименте высота удара должна равняться $L = 2.0$ см.

Измерьте зависимость числа ударов $n$ от глубины $h$ , на которую потребуется забить гвоздь. Постройте график полученной зависимости.

2.2 Постройте график полученной зависимости в таких координатах, чтобы получить линейную зависимость. (возможно, что эта зависимость не будет линейной во всем диапазоне – в этом случае выберите ее линейный участок). Найдите значения параметров этой зависимости.

2.3 Определите отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на 1 см боковой поверхности.

Проведите аналогичные измерения и расчеты для гвоздя большего диаметра. В этом случае высота удара должна быть $L = 4.0$ см.

Отговори

1.1 Схематический график: линейная зависимость $F(h) = F_0 + fh$ — прямая с положительным наклоном, начинающаяся с $F_0$ при $h=0$ .
1.2 $n = \frac{1}{E_0}\left(F_0 + \frac{f(h_0+h)}{2}\right)(h-h_0)$

Получено из условия энергетического баланса: $E_0 n = \left(F_0 + \frac{f(h_0+h)}{2}\right)(h-h_0)$ .
2.1 Экспериментальные данные (гвоздь меньшего диаметра, $h_0=0.5$ см, $L=2.0$ см):

h, см	N, шт
1.0	11
1.5	27
2.0	49
2.5	75
3.0	105
3.5	149
4.0	211
4.5	301

Зависимость $n(h)$ квадратичная, как следует из теоретической формулы.

Данные и график — из официального решения.

2.2 $\frac{n}{h-h_0} = \frac{1}{E_0}\left(F_0 + \frac{f(h_0+h)}{2}\right)$

Линеаризация: величина $\frac{n}{h-h_0}$ линейна по $(h_0+h)$ . Для гвоздя меньшего диаметра наклон $k \approx 10.1$ , свободный член $b \approx 6.98$ (условные единицы по графику).
2.3 0.35

Для гвоздя меньшего диаметра: $F_0/(fh) = b/(2k) = 6.98/(2\cdot 10.1) \approx 0.35$ . Для гвоздя большего диаметра получено то же значение: $13.0/(2\cdot 10.7) \approx 0.35$ .

Решение

График: ось абсцисс — глубина погружения (h), ось ординат — сила; заштрихованная трапециевидная область между h0 и h под линейно возрастающей прямой. — Схематичный график зависимости суммарной силы сопротивления от глубины погружения

Часть 1. Теоретическая

Схематичный график показан на рисунке.
Энергия, необходимая для забивания гвоздя численно равна площади под графиком, поэтому:

E_0 n = \frac{(F_0+fh_0)+(F_0+fh)}{2}(h-h_0) = \left(F_0 + \frac{f(h_0+h)}{2}\right)(h-h_0)

От сюда следует необходимая зависимость:

n = \frac{1}{E_0}\left(F_0 + \frac{f(h_0+h)}{2}\right)(h-h_0)

Часть 2. Практическая

Зависимость числа ударов от глубины погружения для гвоздя меньшего диаметра приведена в таблице и на графике:

h, см	N, шт	h+h₀, см	n/(h−h₀)
1.0	11	1.5	22.00
1.5	27	2.0	27.00
2.0	49	2.5	32.67
2.5	75	3.0	37.50
3.0	105	3.5	42.00
3.5	149	4.0	49.67
4.0	211	4.5	60.29
4.5	301	5.0	75.25

В соответствии с формулой 2 данная зависимость квадратичная.

Для линеаризации зависимости можно проделать следующие преобразования, которые следуют из формулы 2:

\frac{n}{(h-h_0)} = \frac{1}{E_0}\left(F_0 + \frac{f(h_0+h)}{2}\right)

Возрастающая нелинейная (близкая к параболической) кривая N(h) от 0.5 до 5.0 см по оси h, от 0 до 350 шт по оси N. — График зависимости количества ударов N от глубины погружения h (гвоздь меньшего диаметра)

Построим график зависимости $n/(h-h_0)$ от $(h_0+h)$ .

Линейный график с точками и прямой линией регрессии, ось абсцисс (h0+h) от 0.5 до 6 см, ось ординат n/(h−h0) от 25 до 80. — График зависимости n/(h−h0) от (h0+h) (гвоздь меньшего диаметра)

Полученная зависимость близка к линейной $y=kx+b$ . Из вида зависимости 3 следует, что отношение силы, действующей на острие, к силе трения, действующей на 1 см боковой поверхности, определяется формулой:

\frac{F_0}{fh} = \frac{b}{2k} = \frac{6.98}{2\cdot 10.1} \simeq 0.35

Для более толстого гвоздя измерения и обработка проводятся аналогично.

h, см	N, шт	h+h₀, см	n/(h−h₀)
1.0	21	1.5	42.00
1.5	44	2.0	44.00
2.0	73	2.5	48.67
2.5	95	3.0	47.50
3.0	121	3.5	48.40
3.5	155	4.0	51.67
4.0	197	4.5	56.29
4.5	245	5.0	61.25
5.0	296	5.5	65.78
5.5	357	6.0	71.40
6.0	437	6.5	79.45

Для большого гвоздя:

Возрастающая нелинейная кривая N(h) от 0.5 до 7 см по оси h, от 0 до 500 шт по оси N. — График зависимости количества ударов N от глубины погружения h (гвоздь большего диаметра)

Линеаризация:

Линейный график с точками и прямой линией регрессии, ось абсцисс (h0+h) от 0.5 до 7 см, ось ординат n/(h−h0) от 40 до 85. — График зависимости n/(h−h0) от (h0+h) (гвоздь большего диаметра)

Отношение сил оказалось:

\frac{F_0}{fh} = \frac{b}{2k} = \frac{13.0}{2\cdot 10.7} \simeq 0.35

Оригинал в Архива: 9_6_2017_problem.pdf · официални решения: 9_6_2017_sol.pdf