Съдържание

IEPhO 2018, Експеримент, 10–11 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Модули упругости

Внимание: Бележка към темата

Получены из архива два полных ключа с напечатанными заголовками «10 класс» и «11 класс». Оба приведены ниже; их обозначения и отличия сохранены. Происхождение от организаторов отдельно не подтверждено.

О полученных источниках

О полученных источниках. Два архивных файла условия из папок 10 и 11 класса совпадают побайтно и содержат одну связанную работу «Модули упругости» из семи пунктов. В условии класс не напечатан. Ниже полностью приведены два полученных ключа, в которых напечатаны соответственно «10 класс» и «11 класс». В первом используются обозначения $k,y_0,s,\gamma$ , во втором — $\alpha,l_0,S,K$ ; во втором также дано дополнительное объяснение нелинейности. Баллы, время выполнения и отдельные бланки ответа в полученных оригиналах не напечатаны.

Условие

В задаче требуется оценка погрешностей!

Задание

1. Соберите установку, изображенную на рис. 1. Закрепите мерную ленту скотчем. Снимите зависимость показаний динамометра от координаты конца резинового шнура.

Схема установки: два канцелярских зажима закрепляют концы резинового шнура на мерной ленте, один конец шнура присоединён к динамометру со стрелкой-указателем; подписаны «Резиновый шнур», «Динамометр», «Канцелярские зажимы», «Мерная лента». — Рис. 1. Установка для измерения растяжения резинового шнура

2. Рассчитайте на основе полученных данных зависимость силы упругости, возникающей в шнуре, от его относительного удлинения. Постройте график этой зависимости. Почему зависимость не является линейной функцией? Определите ее угловой коэффициент $\alpha$ на участке малых относительных удлинений.

3. С помощью стеклянной колбы, воды и весов определите объем всего шнура в не растянутом состоянии. На основе полученного значения рассчитайте площадь поперечного сечения шнура. Определите модуль Юнга $E$ резины, из которой изготовлен шнур, разделив угловой коэффициент графика $\alpha$ , полученный в пункте 2, на площадь поперечного сечения шнура.

Найденный Вами модуль Юнга $E$ является коэффициентом пропорциональности между силой упругости, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, и относительным изменением продольных размеров упругого тела:

\frac{F}{S} = E\frac{\Delta l}{l_0}\qquad(1)

4. Поместите шнур в залитую водой до краев колбу (см. рис. 2 на стр. 2). Заткните колбу пробкой, проткнутой иглой от шприца. Наберите в шприц воду таким образом, чтобы нижняя половина шприца была заполнена водой, а верхняя половина - воздухом. Вставьте шприц в штуцер иглы. Собирая установку, стремитесь к тому, чтобы в колбе, игле, штуцере и нижней половине шприца отсутствовали пузырьки воздуха. Снимите зависимость уровня воды $V_{\mathrm{B}}$ , отсчитываемого по шкале шприца, от суммарного объема $V_{\mathrm{C}}$ воды и воздуха в шприце.

Если Вам не удается вытащить пробку из колбы, обратитесь к организаторам.

Стеклянная плоскодонная колба, залитая водой, с резиновым шнуром внутри, закрытая пробкой с иглой; игла соединена со шприцем, в шкале которого отмечены объёмы V_B и V_C; подписаны «Шприц», «Пробка», «Игла», «Колба», «Вода», «Резиновый шнур». — Рис. 2. Установка для измерения модуля всестороннего сжатия резины

5. По полученным данным рассчитайте зависимость модуля относительного изменения объема шнура от дополнительного (по отношению к атмосферному) давления. Общий объем всей воды в установке можно считать неизменным. Постройте график полученной зависимости. Определите угловой коэффициент $\beta$ графика и вычислите обратную к нему величину $K$ . Она является модулем всестороннего сжатия резины и фигурирует в формуле, описывающей аналог закона Гука для случая сжатия одинаковым давлением по всем направлениям:

\Delta P = K\frac{\Delta V}{V_0}\qquad(2)

6. Коэффициентом Пуассона $\mu$ называется взятое со знаком минус отношение относительных изменений поперечных и продольных размеров упругого объекта при деформации растяжения/сжатия (см. рис. 3):

\mu = -\frac{\Delta d/d_0}{\Delta l/l_0}\qquad(3)

Теоретически выведите формулу относительного изменения объема упругого тела при сжатии его силами только в одном направлении (с учетом того, что поперечные размеры тоже меняются).

Каково относительное изменение объема при всестороннем сжатии? Получите теоретическую связь модуля Юнга $E$ , модуля всестороннего сжатия $K$ и коэффициента Пуассона $\mu$ .

Схематическое изображение прямоугольного бруска до и после растяжения силой F: показаны начальные размеры l0 и d0, а также l0+Δl и d0−Δd после деформации. — Рис. 3. Изменение продольных и поперечных размеров при растяжении

7. На основе полученных в предыдущих пунктах результатов определите модуль Пуассона резины.

Оборудование. Шприц 1 мл, проткнутая зеленой иглой пробка, резиновый шнур, плоскодонная колба 100 мл, емкость с водой, пинцет, электронные весы 0.01 г, мерная лента, скотч, динамометр 5 Н, 2 канцелярских зажима, поднос, салфетки для поддержания рабочего места в чистоте.

Решение

Ключ из архива: 10 класс

Решение

1. Снимем зависимость показаний динамометра от координаты конца стержня. Также измерим расстояние между двумя зажимами в нерастянутом состоянии шнура $y=70.0\pm0.5$ см.

2. Рассчитаем относительное удлинение шнура. И построим график силы упругости от относительного удлинения шнура.

$x$ , см	$F$ , Н	$\varepsilon\cdot10^2$
0.0	0.0	0.0
0.7	0.4	1.0
1.4	0.6	2.0
2.1	0.8	3.0
2.7	1.0	3.9
3.4	1.2	4.9
4.1	1.4	5.9
4.8	1.6	6.9
5.5	1.8	7.9
6.2	1.9	8.9
6.8	2.1	9.7
7.5	2.3	10.7
8.2	2.4	11.7
8.9	2.6	12.7
9.6	2.7	13.7
10.3	2.9	14.7
10.9	3.1	15.6
11.6	3.2	16.6
12.3	3.4	17.6
13.0	3.6	18.6
13.7	3.6	19.6
14.4	3.8	20.6
15.1	3.9	21.6
15.7	4.1	22.4
16.4	4.2	23.4
17.1	4.3	24.4
17.8	4.4	25.4
18.5	4.5	26.4
19.2	4.6	27.4
19.8	4.8	28.3
20.5	4.9	29.3

Ключ 10 класса: исходный график силы F от относительного удлинения ε, с экспериментальными точками, прямой на малых деформациях, всеми осями, делениями и масштабом.

При увеличении растяжения резинового шнура, его площадь ее поперечного сечения уменьшается, а длина увеличивается. Таким образом в соответствии с законом Гука коэффициент жесткости с убывает с увеличением растяжения, что и наблюдается на графике.

Определим угловой коэффициент графика в области малых деформаций (до 10 %).

k=(20.5\pm0.5)\ \text{Н}\qquad(4)

3. Поместим в колбу шнур (воспользуемся пинцетом для удобства). Зальем в колбу воду до уровня начала горлышка колбы. Аккуратно вытащим шнур из колбы. Измерим массу колбы на весах. Дольем в колбу воду до уровня начала горлышка колбы. Вновь измерим массу колбы. По разности показаний весов определим объем шнура $V=29.5\pm0.1$ мл.

Общая длина шнура составляет $y_0=187.0\pm0.5$ см. Тогда для площади поперечного сечения шнура имеем:

s=V/y_0=0.157\pm0.001\ \text{см}^2\qquad(5)

Таким образом, модуль Юнга резины, из которой сделан шнур, составит:

E=k/s=(1.31\pm0.04)\ \text{МПа}\qquad(6)

4. Соберем установку, описанную в условии. Измерим зависимость объема воды в шприце от общего объема воды и воздуха в шприце.

$V_{\mathrm C}$ , мл	$V_{\mathrm B}$ , мл	$\Delta V/V$	$\Delta P$ , $10^5$ Па
100	52	0.00	0.00
90	48	0.14	0.14
78	40	0.41	0.26
64	30	0.75	0.41
50	20	1.08	0.60
38	10	1.42	0.71

5. Давление в системе легко рассчитать на основе объема воздуха в шприце, предполагая, что во время измерений воздух сжимался изотермически.

P=P_0\frac{V'_{\mathrm C}-V'_{\mathrm B}}{V_{\mathrm C}-V_{\mathrm B}},\qquad(7)

где $P_0$ — атмосферное давление, $V'_{\mathrm C}$ — начальный суммарный объем воздуха и воды в шприце, $V'_{\mathrm B}$ — начальный объем воды в шприце. Вода является практически несжимаемой жидкостью, поэтому изменение объема воды в шприце по модулю равно изменению объема резинового шнура. Для расчета модуля относительного изменения объема поделим изменение объема шнура на объем шнура в недеформированном состоянии, измеренный в пункте 3. Построим график зависимости относительного изменения объема от давления внутри колбы и найдем его обратный угловой коэффициент на линейном участке.

\gamma=4.55\pm0.17\ \text{МПа}.\qquad(8)

6. Изменение объема при относительной деформации растяжения/сжатия $\Delta l/l_0$ составит:

\Delta V/V_0=(1-2\mu)\Delta l/l_0\qquad(9)

Если деформировать тело по трем направлениям с одинаковой относительной деформацией растяжения/сжатия, то изменение объема составит:

\Delta V/V_0=3(1-2\mu)\Delta l/l_0\qquad(10)

Именно такой случай реализуется при повышении внешнего давления. Связь деформации по одной из координат с давлением дается законом Гука:

\Delta l/l_0=\Delta P/E\qquad(11)

Объединяя формулы (7) и (8) имеем для связи модуля всестороннего сжатия и модуля Юнга:

\gamma=E/3(1-2\mu)\qquad(12)

Ключ 10 класса: исходный график относительного изменения объема ΔV/V от дополнительного давления ΔP, с экспериментальными точками, прямой и исходными шкалами.

7. Рассчитаем на основе полученных данных модуль Пуассона:

\mu=(1-E/3\gamma)/2=0.48\pm0.02\qquad(13)

Ключ из архива: 11 класс

Решение

$x$ , см	$F$ , Н	$\varepsilon\cdot10^2$
0.0	0.0	0.0
0.7	0.4	1.0
1.4	0.6	2.0
2.1	0.8	3.0
2.7	1.0	3.9
3.4	1.2	4.9
4.1	1.4	5.9
4.8	1.6	6.9
5.5	1.8	7.9
6.2	1.9	8.9
6.8	2.1	9.7
7.5	2.3	10.7
8.2	2.4	11.7
8.9	2.6	12.7
9.6	2.7	13.7
10.3	2.9	14.7
10.9	3.1	15.6
11.6	3.2	16.6
12.3	3.4	17.6
13.0	3.6	18.6
13.7	3.6	19.6
14.4	3.8	20.6
15.1	3.9	21.6
15.7	4.1	22.4
16.4	4.2	23.4
17.1	4.3	24.4
17.8	4.4	25.4
18.5	4.5	26.4
19.2	4.6	27.4
19.8	4.8	28.3
20.5	4.9	29.3

Ключ 11 класса: исходный график силы F от относительного удлинения ε, с экспериментальными точками, прямой на малых деформациях, всеми осями, делениями и масштабом.

При увеличении растяжения резинового шнура, его площадь поперечного сечения уменьшается, а длина увеличивается. Таким образом в соответствии с законом Гука коэффициент жесткости убывает с увеличением растяжения, что и наблюдается на графике. Также может служить объяснением увеличение $l$ и невозможность пренебречь различием $\Delta l/l$ и $\Delta l/l_0$ в законе Гука. Кроме того, линейная зависимость неприменима для больших деформаций.

Определим угловой коэффициент графика в области малых деформаций (до 10 %).

\alpha=(20.5\pm0.5)\ \text{Н}\qquad(4)

Общая длина шнура составляет $l_0=187.0\pm0.5$ см. Тогда для площади поперечного сечения шнура имеем:

S=V/l_0=0.157\pm0.001\ \text{см}^2\qquad(5)

Таким образом, модуль Юнга резины, из которой сделан шнур, составит:

E=\alpha/S=(1.31\pm0.04)\ \text{МПа}\qquad(6)

$V_{\mathrm C}$ , мл	$V_{\mathrm B}$ , мл	$\Delta V/V$	$\Delta P$ , $10^5$ Па
100	52	0.00	0.00
90	48	0.14	0.14
78	40	0.41	0.26
64	30	0.75	0.41
50	20	1.08	0.60
38	10	1.42	0.71

P=P_0\frac{V'_{\mathrm C}-V'_{\mathrm B}}{V_{\mathrm C}-V_{\mathrm B}},\qquad(7)

где $P_0$ — атмосферное давление, $V'_{\mathrm C}$ — начальный суммарный объем воздуха и воды в шприце, $V'_{\mathrm B}$ — начальный объем воды в шприце. Вода является практически несжимаемой жидкостью, поэтому изменение объема воды в шприце по модулю равно изменению объема резинового шнура. Для расчета модуля относительного изменения объема поделим изменение объема шнура на объем шнура в недеформированном состоянии, измеренный в пункте 3. Построим график зависимости относительного изменения объема от дополнительного давления внутри колбы и найдем его обратный угловой коэффициент на линейном участке.

K=4.55\pm0.17\ \text{МПа}.\qquad(8)

6. Изменение объема при относительной деформации растяжения/сжатия $\Delta l/l_0$ составит:

\Delta V/V_0=(1-2\mu)\Delta l/l_0\qquad(9)

\Delta V/V_0=3(1-2\mu)\Delta l/l_0\qquad(10)

\Delta l/l_0=\Delta P/E\qquad(11)

Объединяя формулы (7) и (8) имеем для связи модуля всестороннего сжатия и модуля Юнга:

K=E/3(1-2\mu)\qquad(12)

Ключ 11 класса: исходный график относительного изменения объема ΔV/V от дополнительного давления ΔP, с экспериментальными точками, прямой и исходными шкалами.

7. Рассчитаем на основе полученных данных модуль Пуассона:

\mu=(1-E/3K)/2=0.48\pm0.02\qquad(13)

Примечание к печатным данным

Примечание к печатным данным. В обоих ключах таблица сжатия указывает объемы в мл со значениями от 100/52 до 38/10, тогда как в условии указан шприц 1 мл; заголовок относительного изменения объема напечатан без масштабного множителя. В обоих ключах напечатанные $E=1.31\pm0.04$ МПа и $\gamma$ (или $K$ ) $=4.55\pm0.17$ МПа не дают напечатанное $\mu=0.48\pm0.02$ при подстановке в напечатанную формулу (13). Все исходные числа, единицы и формулы сохранены, новый исправленный результат не подставлен. Ссылка на формулы (7) и (8) перед формулой (12) также сохранена как напечатана. В пункте 7 условия напечатано «модуль Пуассона», а в пункте 6 — «коэффициент Пуассона».

Оригинал в Архива: 10_1_cord_prob.pdf · решение от архива: 10_1_cord_sol.pdf · допълнителни данни: 11_1_cord_prob.pdf · допълнителни данни: 11_1_cord_sol.pdf