Съдържание

IEPhO 2018, Експеримент, 11. клас — Задача 2.3. Изучение рядов Фурье

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Преобразование Фурье — IEPhO 2018 · 7 т.

Оборудование

В этой задаче не требуется оценка погрешностей!

Комплект оборудования включает в себя набор из двух пьезоэлектрических элементов, которые могут быть использованы как приёмник и передатчик акустических волн. Приёмник и передатчик следует установить на направляющую. Шкала на направляющей позволяет определить расстояние между устройствами. Сигнал на передатчик подаётся с генератора сигналов. Параметры сигналов, поступающих на передатчик и приёмник, можно анализировать с помощью осциллографа.

Оборудование

Приёмник и передатчик акустических волн, направляющая, генератор сигналов, осциллограф, соединительные кабели.

Описание приборов — дополнительный архивный источник

Дополнительное архивное руководство «Описание приборов» сохранено отдельным оригиналом. На его шести страницах не напечатаны год, название соревнования, класс или автор; связь с IEPhO 2018 задаётся архивной папкой. Рукописные пометки на рисунке 4 сохранены в исходном скане. Отдельная официальная публикация руководства не установлена.

Описание приборов. Осциллограф.

Осциллограф — это прибор, позволяющий визуализировать электрический сигнал, подаваемый на его входные клеммы. Осциллограф ставит точки на экране через малые промежутки времени (длительность одного такого промежутка называется временем дискретизации). В режиме временной развертки вертикальная координата точки соответствует величине сигнала в данный момент времени (с учетом масштаба), а горизонтальная координата равна произведению числа прошедших промежутков времени на время дискретизации. Таким образом, на экране строится график зависимости величины сигнала на входе осциллографа от времени. Вход осциллографа чаще всего называют «каналом». В настоящей работе будет использоваться двухканальный осциллограф. Он может строить графики зависимости от времени величин сигналов, подаваемых на два канала одновременно.

Устройство осциллографа не предусматривает непрерывной записи сигнала — осциллограф выводит на экран некоторую ограниченную по времени выборку сигнала. То есть на экране изображается график зависимости величины сигнала от времени лишь в течение небольшого промежутка времени. За величину этого промежутка времени отвечает регулировка временной развертки. При ее установке в максимальное положение осциллограф будет показывать график сигнала максимально большой длительности, однако время дискретизации в этом случае тоже будет большим. При этом невозможно будет отследить переменный сигнал на входе осциллографа, характерное время изменения которого сравнимо со временем дискретизации или, тем более, меньше этого времени. Таким образом, для должного наблюдения сигнала необходимо регулировать временную развертку. В случае изучения периодического сигнала на экране должно отображаться несколько периодов этого сигнала.

Меню синхронизации осциллографа (Рис. 1) позволяет регулировать время начала выборки отображаемых точек, а также периодичность ее вывода на экран. В меню синхронизации (обозначено буквами «СИНХР» — оно указано на рисунке номером 1 в белом прямоугольнике) нажмите кнопку «МЕНЮ СИНХР» (она указана номером 2) для того, чтобы настроить синхронизацию осциллографа. Установки синхронизации по умолчанию на ваших приборах настроены так: меню «Type» — «Edge» (номер 3), меню «Source» — «CH1» (номер 4), меню «Slope» — «↑» (номер 5), меню «Mode» — «Auto» (номер 6). Если на вашем приборе они выставлены по-другому, верните их в указанное положение с помощью серых кнопок, которые находятся рядом с экраном осциллографа справа от него. Также в области триггерного меню есть настройка уровня сигнала (обозначена поворотной ручкой «УРОВЕНЬ» — номер 7). Поворот этой ручки будет вызывать движение отметки (номер 8) триггера в левой части экрана. Для установления синхронизации настройте уровень таким образом, чтобы отметка попала в область на экране, занимаемую сигналом первого канала осциллографа.

Для регулировки масштаба отображения сигнала по вертикальной оси, пользуйтесь большими поворотными ручками (номер 9) в меню «ВЕРТИК» (номер 10). Для смещения сигнала по вертикальной оси осциллографа пользуйтесь поворотными ручками «СМЕЩЕНИЕ» (номер 11) для каждого канала. Масштаб и смещение сигналов по горизонтальной оси регулируется аналогично в меню «ГОРИЗОНТ» (номер 12).

Рис. 1. Меню синхронизации осциллографа.

Для проведения измерений в ходе выполнения работы вам может понадобиться меню курсоров (Рис. 2). Оно выбирается кнопкой «КУРСОРЫ» (номер 1 на Рис. 2). Вы можете выбрать на ваше усмотрение режимы «Manual» (номер 3) или «Track» (номер 4) в меню «Mode» (номер 2).

Меню второго уровня в режиме «Manual» позволяет изменять тип оси курсоров (номер 5). В режиме «Voltage» курсоры будут двигаться вдоль вертикальной оси, и отображать значения напряжения на соответствующем их положению уровне. В режиме «Time» курсоры будут выполнять такую же функцию, двигаясь по горизонтальной оси (и отображать значения времени). Место вывода значений курсоров обозначено цифрой 6.

В режиме «Track» курсор будет двигаться вдоль осциллограммы сигнала. Обозначение курсора (А или В) и номер канала выбираются во втором или третьем сверху подпункте меню (номер 9 на Рис. 2). При этом в углу экрана отображаются (номер 7) значение времени и величины сигнала при текущем положении курсора. Регулировка положения курсоров осуществляется с помощью поворотной ручки «УСТАНОВКА» (номер 8). Для переключения между курсорами необходимо воспользоваться двумя нижними серыми кнопками, которые находятся рядом с экраном справа от него.

Рис. 2. Меню курсоров осциллографа: режимы «Manual» и «Track».

В случае если сигнал зашумлен или не стабилен по среднему положению, вы можете использовать осциллограф в режиме усреднения (Рис. 3). Для этого предназначено меню сбора сигнала, обозначенное кнопкой «СБОР ИНФ» (номер 1 на Рис. 3). Нужно выбрать в первом меню «Acquisition» — режим «Average» (номер 2). В этом случае сигнал, отображаемый на экране осциллографа, будет являться результатом усреднения нескольких выборок сигнала. Количество усреднений можно выбрать во втором меню «Averages» (номер 3).

Переключение языка интерфейса осциллографа происходит в меню «УТИЛИТЫ» (номер 4).

Рис. 3. Режим усреднения в осциллографе.

Осциллограф может проводить автоматические измерения некоторых параметров сигнала (Рис. 4). Наиболее часто используются функции измерения частоты сигнала, его среднего значения, разности наибольшего и наименьшего значения сигнала за данную выборку, а также разности фаз сигналов на двух каналах осциллографа. Для добавления значений автоматических измерений на экран нажмите кнопку «ИЗМЕР» (номер 1 на Рис. 4) и выберите необходимые функции.

Рис. 4. Выбор режима отображения сигнала.

В некоторых случаях сигнал может содержать как переменную составляющую, так и постоянную. Часто бывает необходимо наблюдать только переменную составляющую сигнала. Для этого в осциллографе заложена возможность выбора режима наблюдения сигнала. В режиме «AC» на экран осциллографа выводится только переменная составляющая сигнала — среднее значение сигнала вычитается из исходного сигнала. В режиме «DC» сигнал остается без изменений. В режиме «GROUND» на экране осциллографа показывается нулевой уровень сигнала. Для выбора необходимого режима нажмите кнопку «КАН 1» или «КАН 2» (номер 2), перейдите с помощью кнопки номер 3 на страницу № 2 меню настроек канала осциллографа. В самом верхнем (номер 4) меню установите необходимый режим отображения.

Описание приборов. Генератор.

Генератор (Рис. 5) — это прибор, который может подавать на входные клеммы электрической цепи периодическое переменное напряжение различной частоты. Это напряжение может изменяться с течением времени по разным законам. Принято говорить, что генератор подает на вход цепи сигнал заданной частоты и определенного типа.

Рис. 5. Генератор.

Тип сигнала регулируется кнопками выбора сигнала (номер 1 на Рис. 5) — сигнал может быть синусоидальным, прямоугольным и пилообразным. Частота регулируется ручками «FREQUENCY» и «FINE» (номер 2). Диапазон частот регулируется в меню «RANGE» (номер 3). Ручка «AMPL/INV» (номер 4) регулирует амплитуду сигнала. Ручка «SYM» (номер 5) в вытянутом положении регулирует симметричность сигнала относительно точки с максимальной амплитудой (предпочтительно выставить ручку в то положение, когда сигнал на выходе генератора максимально симметричен). Ручка «DC OFFSET» (номер 6) в вытянутом положении регулирует смещение среднего значения сигнала по напряжению относительно нуля (эту ручку необходимо установить в то положение, когда среднее значение сигнала не смещено по напряжению относительно нуля). Для вывода сигнала генератора во внешнюю цепь при выполнении работы будет использоваться выход «OUTPUT 50Ω» (номер 7).

Условие

Любую периодическую функцию можно представить в виде бесконечного ряда, представляющего собой сумму гармонических функций (рис. 2):

f(x) = const + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos nx + b_n \sin nx\right). \qquad (1)

$a_n$ , $b_n$ - численные коэффициенты.

На практике это представление часто используют для анализа электрических сигналов. Анализируемый сигнал – периодическая функция напряжения от времени $U(t)$ – представляется в виде суммы гармонических сигналов с частотой $\omega_n = n\omega$ :

U(t) = U_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \omega_n t + b_n \sin \omega_n t\right), \qquad (2)

$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ , где $T$ – характерный период сигнала.

Объёмная иллюстрация: на левой плоскости вдоль красной оси $t$ — прямоугольный сигнал (чёрный) и его приближение суммой гармоник (красная кривая с пульсациями); за ней синие синусоиды возрастающей частоты; на правой плоскости вдоль синей оси $\omega$ — спектр из вертикальных отрезков убывающей высоты. — Рис. 2. Представление периодического сигнала в виде суммы гармонических функций.

Установим приемник и передатчик на направляющую таким образом, чтобы резонаторы располагались вплотную друг к другу. Подадим на передатчик какой-либо сигнал с частотой $\omega$ . С помощью осциллографа будем считывать напряжение на выводах приёмника (выходной сигнал). В этом случае система, образованная двумя пьезоэлектрическими элементами, будет работать как фильтр, выделяющий из сигнала, подаваемого на передатчик, гармонический сигнал частоты, равной рабочей частоте $\omega_0$ пьезоэлектрического элемента. Если уменьшить частоту сигнала, подаваемого на передатчик, в $n$ раз, приёмник будет принимать гармонический сигнал с частотой $\omega_0 = n\omega = \omega_n$ . Таким образом, мы можем проанализировать по отдельности слагаемые ряда Фурье, в виде которого можно представить подаваемый на передатчик сигнал.

Стоит учитывать, что система «передатчик – приёмник» имеет свой коэффициент передачи $k$ , связывающий амплитуду гармонического сигнала $U_{in}$ частоты $\omega_0$ , подаваемого на передатчик, и амплитуду сигнала $U_{out}$ на выходе приёмника:

k = \frac{U_{out}}{U_{in}}.

Его следует учитывать, решая задачу об определении параметров $a_n$ , $b_n$

3.1 Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье

Импульсами прямоугольной формы называют импульсы, которые можно проиллюстрировать рисунком 3.

График сигнала прямоугольной формы: оси $t$ и $u$; при $0 < t < T/2$ значение $U$, при $-T/2 < t < 0$ и при $t > T/2$ значение $-U$; отмечены $-T/2$, $0$, $T/2$, $U$, $-U$. — Рис. 3. Сигнал прямоугольной формы.

Для таких импульсов представление в виде ряда (формула (2)) имеет следующий вид:

\bar{U}(t) = U\frac{a}{\pi}\sum_{p=1}^{\infty}\left(\frac{\sin p\omega t}{p}\right), \quad p = 1, 3, 5...

$a$ - некоторое целое число, которое требуется найти в этом упражнении.

Задание:

В течение этого и следующего упражнений положения приёмника и передатчика должны оставаться неизменными!

Установите приёмник и передатчик на направляющую таким образом, чтобы резонаторы располагались вплотную друг к другу.

Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал гармонический сигнал. Подключите генератор и осциллограф к передатчику и приёмнику по схеме, изображённой на рис. 1. На генераторе установите максимальное значение амплитуды выходного сигнала. С помощью осциллографа измерьте амплитуды сигналов $U_{in}$ и $U_{out}$ на приёмнике и передатчике. Вычислите коэффициент $k$ .
Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал сигнал прямоугольной формы.
Подавая на передатчик сигналы с характерными частотами $\omega_0$ , $\dfrac{\omega_0}{3}$ , $\dfrac{\omega_0}{5}$ , ..., $\dfrac{\omega_0}{p}$ , ..., измерьте зависимость амплитуды напряжения $U$ на выходе приёмника от числа $p$ . Поддерживайте амплитуду сигнала генератора неизменной в течение всего эксперимента.
Используя результаты проведённых измерений, определите число $a$ . Методика расчетов должна включать в себя построение как минимум одного линейного графика. [3,5 т.]

3.2 Представление сигнала треугольной формы в виде ряда Фурье

Импульсами треугольной формы называют импульсы, которые можно проиллюстрировать рисунком 4.

График сигнала треугольной формы: оси $t$ и $u$; ломаная проходит через начало координат, достигает $U$ между $0$ и $T/2$ и $-U$ между $-T/2$ и $0$, пересекая ось $t$ в точках $-T/2$, $0$, $T/2$. — Рис. 4. Сигнал треугольной формы.

Для таких импульсов представление в виде ряда (формула (2)) имеет следующий вид:

\hat{U}(t) = U\frac{b}{\pi^2}\sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{\frac{l-1}{2}}\left(\frac{\sin l\omega t}{l^d}\right), \quad l = 1, 3, 5...

$b$ , $d$ - некоторые целые числа, которое требуется найти в этом упражнении.

Задание:

Настройте генератор таким образом, чтобы он создавал сигнал треугольной формы.
Подавая на передатчик сигналы с характерными частотами $\omega_0$ , $\dfrac{\omega_0}{3}$ , $\dfrac{\omega_0}{5}$ , ..., $\dfrac{\omega_0}{l}$ , ..., измерьте зависимость амплитуды напряжения $U$ на выходе приёмника от числа $l$ . Поддерживайте амплитуду сигнала генератора неизменной в течение всего эксперимента.
Используя результаты проведенных измерений, определите числа $b$ и $d$ . Методика расчетов должна включать в себя построение как минимум одного линейного графика. [3,5 т.]

Отговори

Решение

3.1 Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье

Для прямоугольных импульсов преобразование в ряд Фурье имеет следующий вид:

\bar{U}(t) = U\frac{a}{\pi}\sum_{p=1}^{\infty}\left(\frac{\sin p\omega t}{p}\right), \quad p = 1, 3, 5...

$a$ - некоторое целое число, которое требуется найти в этом упражнении. Пусть $U_r$ – удвоенная амплитуда ("peak-to-peak") напряжения на приёмнике, $U_t$ – удвоенная амплитуда напряжения на передатчике. Учитывая коэффициент передачи $k$ и используя новые обозначения, запишем формулу представления сигнала в виде ряда для измеряемых напряжений:

U_r = \frac{ak}{\pi p} \cdot U_t. \qquad (3)

Пусть

h = \frac{U_t}{p}.

Величину $a$ можно найти, определив угловой коэффициент $\eta$ графика зависимости $U_r(h)$ :

\eta = \frac{ak}{\pi}.

Проведём измерение коэффициента передачи (табл. 3.1).

Таблица 2. Результаты измерений.

$U_{in}$ , В	$21{,}8 \pm 0{,}2$
$U_{out}$ , В	$22{,}8 \pm 0{,}2$
$k$	$1{,}05 \pm 0{,}02$

Проведём измерение зависимости величин $U_r$ от $U_t$ (табл. 3.1). Для каждого $p$ вычислим соответствующее значение $h$ .

Таблица 3. Результаты измерений.

$p$	$f/p$ , кГц	$U_t$ , В	$U_r$ , В	$h$ , В
1	25,250	21,6	26	21,60
3	8,417	21,6	9,6	7,20
5	5,050	21,6	5,48	4,32
7	3,607	21,6	4,24	3,09
9	2,806	21,6	3,44	2,40
11	2,295	21,6	2,64	1,96
13	1,942	21,6	2,28	1,66
15	1,683	21,6	2,16	1,44
17	1,485	21,6	1,76	1,27

Построим график зависимости $U_r(h)$ (рис. 6).

Из графика:

$\eta = 1{,}19$ ,

$a = 3{,}55 \approx 4$ .

3.2 Представление сигнала треугольной формы в виде ряда Фурье

Для треугольных импульсов преобразование в ряд Фурье имеет следующий вид:

\hat{U}(t) = U\frac{b}{\pi^2}\sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{\frac{l-1}{2}}\left(\frac{\sin l\omega t}{l^d}\right), \quad l = 1, 3, 5...

$b$ , $d$ – некоторые целые числа, которое требуется найти в этом упражнении.

Пусть $U_r$ – удвоенная амплитуда ("peak-to-peak") напряжения на приёмнике, $U_t$ – удвоенная амплитуда напряжения на передатчике. Учитывая коэффициент передачи $k$ и используя новые обозначения, запишем формулу представления сигнала в виде ряда для измеряемых напряжений:

U_r = k\frac{b}{\pi^2} \cdot U_t \cdot l^{-d}, \qquad (4)

Поделим обе части уравнения на $U_t$ :

\frac{U_r}{U_t} = k\frac{b}{\pi^2} \cdot l^{-d}.

Сделаем замену:

m = \frac{U_r}{U_t}, \quad \mu = k\frac{b}{\pi^2}.

Тогда

m = \mu \cdot l^{-d}.

Проведём линеаризацию:

\ln m = \ln \mu - d\ln l. \qquad (5)

Величины $d$ и $\mu$ можно определить из графика зависимости $\ln m\ (\ln l)$ .

Проведём измерение зависимости величин $U_r$ от $U_t$ (табл. 3.2).

Таблица 4. Результаты измерений и вычислений.

$l$	$f/l$ , кГц	$U_t$ , В	$U_r$ , В	$m$	$\ln m$	$\ln l$
1	25,25	20,2	16	0,7921	-0,23	0
3	8,417	20,2	1,96	0,0970	-2,33	1,10
5	5,050	20,2	0,7	0,0347	-3,36	1,61
7	3,607	20,2	0,368	0,0182	-4,01	1,95
9	2,806	20,2	0,23	0,0114	-4,48	2,20
11	2,295	20,2	0,12	0,0059	-5,13	2,40
13	1,942	20,2	0,09	0,0045	-5,41	2,56
15	1,683	20,2	0,078	0,0039	-5,56	2,71
17	1,485	20,2	0,045	0,0022	-6,11	2,83

Построим график зависимости $\ln m\ (\ln l)$ (рис. 7).

Из графика:

$d = 2{,}06 \approx 2$ ,

$\ln \mu = -0{,}136$ ,

$b = e^{\ln \mu} \cdot \dfrac{\pi^2}{k} = 8{,}23 \approx 8$ .

Критерии оценивания.

Критерий	Баллы	Макс. балл
3. Представление сигнала прямоугольной формы в виде ряда Фурье. (3,5 б.)
Проведены измерения $U_{in}$ , $U_{out}$ .		0,2
Вычислен коэффициент передачи $k$ .		0,2
Выбран верный метод вычисления искомых параметров (в том числе метод линеаризации).		0,7
Проведены измерения зависимости $U_r(U_t)$ :		1
- 5 точек и более,	1
- менее 5 точек.	0,5
Проведена линеаризация.		0,3
Построен график зависимости $U_r\,(h)$ . На графике:		0,7
- оси подписаны и оцифрованы, выбран корректный масштаб;	0,2
- нанесены все точки в соответствии с таблицей данных;	0,1
- точки с достаточной точностью могут быть аппроксимированы прямой;	0,2
- проведена аппроксимирующая прямая.	0,2
Значение $a = 4$ .		0,4
4. Представление сигнала треугольной формы в виде ряда Фурье. (3,5 б.)
Выбран верный метод вычисления искомых параметров (в том числе метод линеаризации).		0,7
Проведены измерения зависимости $U_r(U_t)$ :		1
- 5 точек и более,	1
- менее 5 точек.	0,5
Проведена линеаризация.		0,3
Построен график зависимости $\ln m\ (\ln l)$ . На графике:		0,7
- оси подписаны и оцифрованы, выбран корректный масштаб;	0,2
- нанесены все точки в соответствии с таблицей данных;	0,1
- точки с достаточной точностью могут быть аппроксимированы прямой;	0,2
- проведена аппроксимирующая прямая.	0,2
Значение $d = 2$ .		0,4
Значение $b = 8$ .		0,4
Итого

График: по горизонтали $h$, В от 0 до 25, по вертикали $u_r$, В от 0 до 30, сетка; точки при малых $h$ (до 7,2 В) лежат на прямой, проходящей почти через начало координат, точка при $h \approx 21{,}6$ В лежит ниже прямой. — Рис. 6. График зависимости $U_r(h)$ .

График: по горизонтали $\ln l$ от 0 до 3, по вертикали $\ln m$ от −7 до 0, сетка; девять точек от $(0; -0{,}23)$ до $(2{,}83; -6{,}11)$ вдоль убывающей прямой. — Рис. 7. График зависимости $\ln m\ (\ln l)$ .

Оригинал в Архива: 11_2_oscillograph_prob.pdf · официални решения: 11_2_oscillograph_sol.pdf · допълнителни данни: 11_2_oscillograph_guide.pdf