IEPhO 2018, Експеримент, 11. клас, втори лист № 3 (спектри) — Задача 3.1. Введение

Спектр — IEPhO 2018

Условие

В оптике дифракция – явление, которое проявляет себя как отклонения в поведении светового излучения от законов геометрической оптики. Это возможно благодаря волновым свойствам света. Дифракция неразрывно связана с явлением интерференции. Интерференция - сложение волн, которое приводит к перераспределению энергии излучения в пространстве. В результате можно наблюдать на экранах темные и светлые участки. Это возможно только при условии равенства длин этих волн. Дифракционная решётка (ДР) - оптический элемент, состоящий из совокупности расположенных на плоской поверхности параллельных прозрачных щелей одинаковой ширины $b$, разделенных непрозрачными участками ширины $a$. Сумму ширин прозрачного и непрозрачного участков называют периодом решетки $d$.

Именно периодическая структура обуславливает основные функциональные свойства ДР, главное из которых – отклонение падающего на нее луча света на разные углы в зависимости от длины волны излучения.

Рассмотрим принцип действия ДР. В своем рассмотрении мы будем основываться на принципе Гюйгенса-Френеля, смысл которого состоит в следующих положениях:

1. При распространении электромагнитной (световой) волны каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны. (Волновой фронт - множество точек, в которых электромагнитное поле колеблется в одинаковой фазе).
2. Результат совместного действия всех вторичных источников можно определить как сумму гармонических колебаний вида $A_i \cdot \cos(\omega t + \varphi_i)$, (где $A_i$ – амплитуда световой волны источника с номером $i$, $\omega$ – частота колебаний, $t$ – время, $\varphi_i$ – некоторая начальная фаза колебаний), или, другими словами, как интерференцию в данной точке пространства волн от всех элементарных источников с поверхности волнового фронта.

Для понимания интерференции определим в точке $O$ амплитуду электромагнитного поля, создаваемого двумя монохроматическими волнами (т.е. волнами одной длины) от двух точечных источников $A$ и $B$ (такие источники называют когерентными).

Пусть каждый источник создает поле, напряжённость которого меняется со временем по гармоническому закону с одинаковой начальной фазой (источники синфазны). В точке $O$ эти источники создают поля, меняющиеся по законам $A_1 \cos(\omega t)$ и $A_2 cos(\omega t + \Delta\phi)$ соответственно. Результат их интерференции будет зависеть прежде всего от того, с какой разностью фаз $\Delta\phi$ приходят эти две волны. Если расстояния $R_1$ и $R_2$ равны, или их разность равна целому числу длин волн, то волны от источников придут в $O$ в одной фазе. Амплитуда суммарного колебания $A = A_1 + A_2$. Если же разность расстояний $R_1$ и $R_2$ окажется равна нечетному числу длин полуволн, разность фаз составит $\pi$. В этом случае амплитуда суммарного колебания будет равна $A_1 + (-A_2)$. В случае равенства по модулю величин $A_1$ и $A_2$ результирующая амплитуда поля в точке $O$ окажется нулевой.

Пусть на ДР падает световая волна с плоским фронтом (волновой фронт образует плоскость). Длина волны равна $\lambda$. Для простоты мы рассмотрим ДР, у которой всего 2 щели.

Если плоскость ДР параллельна фронту волны, излучение дойдёт до щелей решётки с одинаковой фазой. Щели решётки окажутся синфазными источниками вторичных волн, которые распространяются во всех направлениях и будут участвовать в интерференции.

Рассмотрим волны, отклоняющиеся от исходного направления на угол $\varphi$ (угол дифракции). Тонкая линза соберет соответствующие лучи в одной точке. Фазы колебаний от разных щелей будут различны, поскольку разность хода лучей, пришедших от соседних щелей, как нетрудно заметить из простой геометрии, составит величину $d \sin\varphi$. В том случае, если $d \sin\varphi$ окажется кратным $\lambda$, то в этом направлении мы получим максимум поля светового излучения. Если же $d \sin\varphi$ окажется равным нечетному числу $\lambda/2$, то в этом направлении результирующая амплитуда поля достигнет своего минимума.

Направление лучей, соответствующее максимуму, определяется формулой:

$n$ - целое число (так называемый «порядок дифракции»). Наиболее ярким является максимум нулевого порядка (соответствующий нулевому углу дифракции).

Таким образом, если на пути монохроматического светового пучка после ДР установить экран, мы увидим на нём не одно световое пятно (как того следовало ожидать в соответствии с геометрической оптикой), а несколько пятен. Форма и размеры световых пятен на экране будут обусловлены формой и протяжённостью светового источника, формирующего световой пучок. У больших по размеру источников пятна могут даже перекрываться, и картина "смазывается". Протяжённость источника можно искусственно изменять, устанавливая на пути излучения диафрагму, которая будет определять ширину пучка, падающего на ДР.

Источники оптического излучения, которые чаще всего встречаются в быту, излучают световые волны с разными длинами волн. Набор длин волн, которые испускаются источником, называют его спектром. Например, на рис. 5 приведен спектр лампы накаливания.

Спектральная плотность излучения – функция, описывающая распределение мощности излучения в зависимости от длины волны. Как физическая величина спектральная плотность излучения определяет мощность, приходящуюся на единичный интервал длин волн. На рис. 6 изображён график зависимости спектральной плотности излучения лампы накаливания от длины волны.

Лазер – источник с очень узким спектром, то есть его можно считать монохроматическим. Волновой фронт лазерного пучка можно считать плоским. Этот факт делает лазер уникальным оптическим прибором. Любая хорошая линза фокусирует этот пучок практически в точку, и поэтому лазерное излучение опасно для глаз даже при небольшой мощности лазера.

Решение

Оригинал в Архива: 11_3_spectrum_prob.pdf · официални решения: 11_3_spectrum_sol.pdf