Съдържание

Условие Решение

IEPhO 2018, Експеримент, 8. клас — Задача 1. Нелинейная пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Нелинейная пружина

Бележка от източника

В задаче требуется оценка погрешностей!

Условие

Давление $P$ внутри замкнутого объема газа зависит от объема газа $V$ . Зависимость можно описать функцией:

\frac{P}{P_0} = \left(\frac{V}{V_0}\right)^{n} \qquad (1)

где $P_0$ и $V_0$ - давление и объем газа в некоторый момент времени.

1. Рассчитайте как можно точнее площадь внутреннего сечения шприца.

2. Рассчитайте полный объем шприца (с учетом части вне делений, ближе к месту вставки поршня).

3. Включите весы. Поставьте на них шприц. Нажимайте на шприц таким образом, чтобы поршень двигался относительно шприца как можно медленнее. По показаниям весов оцените силу трения, действующую на поршень шприца при таком движении. Оцените погрешность.

4. Полностью выньте поршень из шприца. Заткните носик шприца вторым поршнем. Вставьте первый поршень в шприц. Установите его аналогично пункту 3. Нажимая на шприц, измерьте зависимость показаний весов от внутреннего объема газа (см. рисунок 1).

Схема установки: вертикально закреплённый шприц с поршнем сверху, надетым на шток, шприц стоит на весах с показанием 0.00 g; подписаны 'Поршень', 'Шприц', 'Весы'. — Рис. 1. Измерение давления внутри шприца

5. При помощи данных, полученных в пункте 4, рассчитайте величины $\dfrac{P}{P_0}$ и $\dfrac{V}{V_0}$ , где $P_0$ – атмосферное давление воздуха, равное 100 кПа, $V_0$ – полный объем шприца, а величины $P, V$ – текущие значения давления и объема, соответственно. Хорошо подумайте, куда направлена сила трения, действующая на поршень, во время измерений в пункте 4.

6. Используя результаты пункта 5, определите степень $n$ в уравнении 1.

7. Постройте график зависимости, полученной в пункте 5, в таких координатах, чтобы график зависимости получился линейным. Найдите её угловой коэффициент.

Решение

Максимальное деление шприца соответствует объему $V = 1$ мл. Длина заполненной части шприца при этом $l = 5.9$ см. Таким образом, площадь внутреннего сечения шприца составит:

S = \frac{V}{l} = 0{,}169\ \mathrm{см^2} \qquad (2)

Длина внутренней части вне объемной шкалы шприца составляет $l_1 = 1.9$ см. С помощью пропорции найдем общий объем внутренней части шприца:

V_0 = V\left(1 + \frac{l_1}{l}\right) = 1.32\ \mathrm{мл} \qquad (3)

Оценим силу трения, действующую на поршень шприца, при его движении внутри шприца способом, указанным в условии. Получим, что значения весов меняются в пределе 100 - 120 г, таким образом сила трения составит:

F_{тр} = 1.1 \pm 0.1\ \mathrm{Н} \qquad (4)

Снимем показания весов от внутреннего объема шприца.

$V$ , мл	$m$ , г	$V/V_0$	$P/P_0$	$V_0/V$
1.00	120	0.76	1.34	1.32
0.90	160	0.68	1.57	1.47
0.80	200	0.61	1.80	1.65
0.70	249	0.53	2.08	1.89
0.60	305	0.45	2.41	2.20
0.50	420	0.38	3.08	2.64
0.40	500	0.30	3.54	3.30
0.30	724	0.23	4.84	4.40
0.20	1110	0.15	7.08	6.60

Для расчета давления внутри шприца необходимо рассчитать отношение силы, действующей на поршень со стороны воздуха внутри шприца на его площадь. При движении резервуарной части вниз сила трения действует на поршень вниз, однако во время фиксации резервуарной части она немного смещается вверх и сила трения меняет свое направление на противоположное. Поэтому сила, действующая на поршень со стороны воздуха может быть рассчитана как сумма силы, действующей на поршень со стороны весов, и силы трения. В свою очередь, сила действующая со стороны весов на поршень может быть рассчитана из показаний весов умножением их на ускорение свободного падения. Начальное давление внутри поршня равно атмосферному давлению $P_0 = 10^5$ Па. Таким образом, отношение давления внутри шприца к начальному давлению воздуха в нем можно рассчитать как:

\frac{P}{P_0} = \frac{mg + F_{тр}}{P_0 S} \qquad (5)

Расчет отношения объема воздуха в шприце к начальному объему проводиться тривиально на основе результатов пункта 2.

Легко заметить, что при уменьшении объема в шприце в два раза давление в шприце возрастает также примерно в два раза. Таким образом находим степень $n = 1$ .
Построим график зависимости $\frac{P}{P_0}\left(\frac{V_0}{V}\right)$ и найдем угловой коэффициент.

A = 1.08 \pm 0.02 \qquad (6)

Линейный график по точкам эксперимента с прямой наилучшего приближения; уравнение прямой P/P0 = 1.08 · V0/V + 2.79·10^-2; оси от 1.0 до 8.0. — График зависимости $P/P_0$ от $V_0/V$

Бележка от източника

Оборудование. Шприц (1 мл), весы, поршень от шприца (1 мл), линейка.

Оригинал в Архива: 8_1_syringe_prob.pdf · официални решения: 8_1_syringe_sol.pdf