Съдържание

IEPhO 2018, Експеримент, 8. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Закон движения — IEPhO 2018

Условие

В задаче требуется оценка погрешностей!

Задание

Внутри алюминиевой трубки (плотность алюминия $\rho = 2{,}70\ \mathrm{г/см^3}$ ) находится груз известной массы $m = 7{,}65$ г, длиной $H = 16{,}0$ мм. Груз может перемещаться внутри трубки. Трубка заткнута с двух сторон одинаковыми пробками, массой которых можно пренебречь по сравнению с массой трубки. Толщина пробок пробок составляет $h = 7{,}0$ мм (см. рисунок 1

Схема алюминиевой трубки с грузом внутри; показаны обозначения x, 0, стрелка направления, толщина пробок h с обеих сторон и длина груза H в середине. — Рис. 1. Схема установки

Вскрывать трубку запрещено!

Оборудование. Трубка с грузом, линейка (50 см), карандаш круглый, секундомер.

1. Найдите толщину стенок трубки.

2. Поместите груз в один из концов трубки и резким движением переведите трубку в вертикальное состояние так, чтобы груз оказался у верхнего конца трубки. Груз начнет падать внутри трубки. Для разных времен $t$ падения груза определите соответствующие им координаты тела $x$ (см. рис. 1). Измерьте зависимость $x(t)$ .

3. Движение груза внутри трубки может быть описано двумя моделями:

(a) Движение с постоянной скоростью:

x = vt, \qquad (1)

где $x$ — координата центра груза, $v$ — его скорость, $t$ — время.

(b) Движение с постоянным ускорением:

x = \frac{at^2}{2}, \qquad (2)

где $a$ — ускорение груза.

Постройте график измеренной в пункте 2 зависимости в таких координатах, чтобы он был линейным. Определите, какой модели подчиняется движение груза. В рамках найденной модели определите параметр движения: скорость или ускорение соответственно.

Отговори

Решение

Определим массу трубки. Для этого переместим груз в один из концов трубки и уравновесим ее на карандаше (см. рисунок 2).

Найдем расстояние $l_0 = (46.4 \pm 0.01)$ см от точки равновесия до того конца трубки, где находится и груз. Запишем уравнение равновесия для трубочки:

Mg\left(\frac{L}{2} - l_0\right) = mg\left(l_0 - h - \frac{H}{2}\right), \qquad (3)

где $L = (100.2 \pm 0.1)$ мм — длина всей трубки, $M$ — масса трубки. Из него легко найти массу трубки:

M = m\frac{l_0 - h - \frac{H}{2}}{\frac{L}{2} - l_0} = (93 \pm 3)\ \text{г}. \qquad (4)

Определим внешний диаметр трубки. Пусть трубка совершила $N = 5$ оборотов и прошла расстояние $y = (19.0 \pm 0.1)$ см. Тогда для внешнего диаметра трубки можно записать:

D = \frac{y}{N\pi} = (1.210 \pm 0.006)\ \text{см}. \qquad (5)

Масса трубки и плотность ее материала позволяют вычислить объем алюминия. Объем алюминия есть разность внешнего объема и внутреннего объема трубки.

\frac{\pi}{4}(D^2 - d^2)L = \frac{m}{\rho}, \qquad (6)

где $d$ - внутренний диаметр трубки, который теперь можно определить как:

d = \sqrt{D^2 - \frac{4m}{L\pi\rho}} = (1.014 \pm 0.013)\ \text{см}. \qquad (7)

Таким, образом толщина стенок трубки:

\Delta d = \frac{D-d}{2} = (0.098 \pm 0.010)\ \text{см}, \qquad (8)

Для определения зависимости координаты $x$ груза от времени при вертикальном падении будем переворачивать трубку из горизонтального положения в вертикальное в момент начала отсчета времени по секундомеру, а в момент окончания счета времени переворачивать обратно. При этом координата центра тяжести трубки будет изменяться. Снимем зависимость расстояния $l$ от центра тяжести трубки до того конца трубки, откуда начинал движение груз, от времени падения груза. Запишем условие равновесия аналогичное уравнению 1.

Mg\left(\frac{L}{2} - l\right) = mg\left(l - x - h - \frac{H}{2}\right). \qquad (9)

Откуда можно легко рассчитать координату $x$ груза.

x = l - \frac{M(\frac{L}{2} - l)}{m} - h - \frac{H}{2} \qquad (10)

$t$ , с	$l$ , см	$x$ , см
2.3	48.2	23.7
3.4	49.6	42.0
4.0	49.9	46.0
4.4	50.2	49.9
5.3	50.8	57.8
6.2	51.9	72.2
7.3	53.2	89.3
7.9	53.2	89.3
8.1	53.5	93.2
8.3	53.8	97.2

Построим график зависимости координаты от времени. Как видно из графика, координата линейно зависит от времени, что означает корректность модели движения с постоянной скоростью. Из углового коэффициента графика найдем скорость движения груза:

v = (11.9 \pm 0.3)\ \text{см/с}. \qquad (11)

Схема трубки на карандаше: показаны силы Mg и mg, расстояние l0 от точки опоры до конца трубки, отрезок h + H/2 и размерная стрелка L во всю длину трубки под ней. — Рис. 2. Схема установки

График x(t) с точками данных и линейной аппроксимацией x = 11.9·t − 1.95, оси x в см и t в с. — График зависимости x от t

Оригинал в Архива: 8_2_motion_prob.pdf · официални решения: 8_2_motion_sol.pdf