Съдържание

IEPhO 2018, Експеримент, 8–9 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Парафин

Внимание: Бележка към темата

Сохранены решения из архива для 8 и 9 классов и оба исходных адреса одинакового условия. Отдельное подтверждение публикации организатором не установлено. В обоих решениях буквально сохранены дополнительное равенство в (7), начальная разность 40.2°C и итог 5600 с·°C; эти печатные значения не исправлялись.

Условие

Погрешности в задаче оценивать не требуется!

Математическое введение

В физике часто приходится иметь дело с процессами, в которых скорость изменения некоторой величины не является постоянной, а зависит от ее текущего значения. То есть для величины $a$ , зависящей от времени $t$ имеем:

\frac{\Delta a}{\Delta t} = f(a). \quad (1)

Нас интересует наиболее простой случай, когда функция $f(a)$ — линейная. То есть:

\frac{\Delta a}{\Delta t} = \frac{a}{\tau}, \quad (2)

где $\tau$ — постоянный коэффициент размерности времени.

Из решения уравнения (2) можно выразить время:

t = \tau \ln\left(\frac{a}{a_0}\right). \quad (3)

$y = ln(x)$ — логарифмическая функция. Ее значения в разных точках вы можете получить, воспользовавшись калькулятором. $a_0$ — некоторая постоянная той же размерности что и $a$ , физический смысл которой — значение $a$ в момент времени $t=0$ . (Чтобы в этом убедиться, проверьте, что $ln(1)=0$ ).

Задание

При остывании различных тел в воздухе можно считать, что мощность тепловых потерь пропорциональна текущей разности температур нагретого тела и воздуха:

N = -\alpha(T - T_0), \quad (4)

где $T_0$ — комнатная температура, $\alpha$ — некоторый коэффициент.

1. Снимите зависимость $T(t)$ температуры от времени при остывании выданного вам расплавленного парафина. Опишите в работе видимые изменения, происходящие с парафином по мере его остывания. Укажите температуру(-ы), при которых они происходят.

2. Определите, в каком диапазоне температур можно считать отношение $C/\alpha$ постоянным, где $C$ - теплоемкость парафина (полная, а не удельная).

3. Вычислите $C/\alpha$ на каждом из таких участков.

4. На полученном графике есть участок, на котором температура парафина почти не падает (за счет плохой теплопроводности она даже растет). Он соответствует затвердеванию парафина. Определите температуру кристаллизации и отношение $q/\alpha$ , где $q$ — теплота кристаллизации парафина, считая что в процессе кристаллизации $\alpha$ не меняется.

Примечания

"Рабочим" является только кончик термометра, достаточно погрузить его в парафин для проведения измерений.
Термометр после нескольких минут бездействия выключается. Чтобы этого не произошло можно переключать единицы измерения.(Не забывайте следить за тем, в каких именно единицах проводите измерения!)
Не изменяйте положение термометра в процессе измерений.
Кончик термометра должен быть полностью погружен в парафин и не должен касаться стенок сосуда.
Измерения довольно продолжительные, планируйте свое время!
Расплавленный парафин требуйте у жюри. Время ожидания составляет не менее 3 минут.
Выданный Вам расплавленный парафин очень горячий, будьте осторожны!

Оборудование

Расплавленный парафин в металлическом сосуде (по требованию), термометр, секундомер.

Решение

Ниже сохранены оба полных архивных решения с напечатанными заголовками 8 и 9 классов. Их научное содержание совпадает; оформление и разбиение физических страниц различаются. Отдельное подтверждение официальной публикации организатором не установлено.

8 класс — решение из архива

Решение

Измерения комнатной температуры дают $T_0=20.2\degree C$ .

Снимем зависимость $T(t)$ :

8 класс: все 72 измерения, три полных табличных панели.

$t$ , с	$T$ , °C	$\ln((T-T_0)/\widetilde T)$
0.0	80.1	0.00
30.0	75.8	−0.07
60.0	72.1	−0.14
90.0	69.9	−0.19
120.0	68.3	−0.22
150.0	65.8	−0.27
180.0	63.1	−0.33
210.0	60.5	−0.40
240.0	58.5	−0.45
270.0	56.3	−0.51
300.0	54.6	−0.55
330.0	52.6	−0.61
360.0	51.4	−0.65
390.0	50.2	−0.69
420.0	49.1	−0.73
450.0	47.8	−0.77
480.0	46.8	−0.81
510.0	45.9	−0.85
540.0	44.8	−0.89
570.0	43.9	−0.93
600.0	43.2	−0.96
630.0	42.8	−0.97
660.0	42.5	−0.99
690.0	42.1	−1.01

$t$ , с	$T$ , °C	$\ln((T-T_0)/\widetilde T)$
720.0	41.8	−1.02
750.0	41.4	−1.04
780.0	41.0	−1.06
810.0	40.6	−1.08
840.0	40.3	−1.09
870.0	39.9	−1.11
900.0	39.6	−1.13
930.0	39.2	−1.15
960.0	38.9	−1.16
990.0	38.6	−1.18
1,020.0	38.3	−1.20
1,050.0	38.1	−1.21
1,080.0	37.8	−1.22
1,110.0	37.6	−1.24
1,140.0	37.3	−1.25
1,170.0	37.2	−1.26
1,200.0	37.0	−1.27
1,230.0	36.9	−1.28
1,260.0	36.9	−1.28
1,290.0	36.9	−1.28
1,320.0	37.0	−1.27
1,350.0	37.3	−1.25
1,380.0	37.5	−1.24
1,410.0	37.8	−1.22

$t$ , с	$T$ , °C	$\ln((T-T_0)/\widetilde T)$
1.44 · 10³	38.1	−1.21
1.47 · 10³	38.3	−1.20
1.5 · 10³	38.5	−1.19
1.53 · 10³	38.6	−1.18
1.56 · 10³	38.6	−1.18
1.59 · 10³	38.6	−1.18
1.62 · 10³	38.5	−1.19
1.65 · 10³	38.3	−1.20
1.68 · 10³	38.1	−1.21
1.71 · 10³	37.9	−1.22
1.74 · 10³	37.8	−1.22
1.77 · 10³	37.5	−1.24
1.8 · 10³	37.2	−1.26
1.83 · 10³	36.9	−1.28
1.86 · 10³	36.7	−1.29
1.89 · 10³	36.5	−1.30
1.92 · 10³	36.1	−1.33
1.95 · 10³	35.9	−1.34
1.98 · 10³	35.6	−1.36
2.01 · 10³	35.3	−1.38
2.04 · 10³	35.1	−1.39
2.07 · 10³	34.8	−1.41
2.1 · 10³	34.6	−1.43
2.13 · 10³	34.3	−1.45

Запишем баланс мощностей для остывания парафина при постоянной теплоемкости $c$ и коэффициенте потерь $\alpha$ :

cm\frac{\Delta T}{\Delta t}=-\alpha(T-T_0).\qquad(5)

Это уравнение легко привести к виду (2):

\frac{\Delta(T-T_0)}{\Delta t}=-\frac\alpha{mc}(T-T_0),\qquad(6)

что позволяет указать координаты, в которых график будет линеен:

\ln\left(\frac{T-T_0}{\widetilde T}\right)=t=-\frac\alpha{mc},\qquad(7)

где $\widetilde T$ — начальная разность температур парафина и воздуха. Из проведенных измерений получаем $\widetilde T=40.2\degree C$ .

В процессе остывания, при температуре $T'\approx43\degree C$ парафин начинает мутнеть.

Построим график этой зависимости:

8 класс: график охлаждения с тремя аппроксимациями и полными осями.

Зависимость $\ln\left(\frac{T-T_0}{\widetilde T}\right)$ от $t$ .

На графике напечатаны три линейные аппроксимации:

-1.43\cdot10^{-3}\cdot t-0.12;\qquad -5.69\cdot10^{-4}\cdot t-0.61;\qquad -5.55\cdot10^{-4}\cdot t-0.26.

Явно видно три линейных участка, на которых температура падает: Отметим, что тем-

8 класс: все три строки диапазонов времени, угловых коэффициентов и C/α.

№	Диапазон времен, с	Угловой коэффициент, 1/с	$C/\alpha$ , с
1	[0; 560]	$1.43\cdot10^{-3}$	700
2	[560; 1200]	$5.69\cdot10^{-4}$	1760
3	[1700; 2080]	$5.55\cdot10^{-4}$	1800

пература, при которой происходит помутнение парафина соответствует точке, в которой происходит скачок теплоемкости.

В процессе кристаллизации температура парафина находится в диапазоне [36.9;38.6] °C, продолжительность этого процесса $t_{\text{крист}}=320$ с. Закон сохранения энергии дает:

q=\alpha(T_{\text{крист}}-T_0)t_{\text{крист}}\qquad(8)

Примем для расчета потерь $T_{\text{крист}}=37.7\degree C$ .

\frac q\alpha=(T_{\text{крист}}-T_0)t_{\text{крист}}=5600\ \text{с}\cdot\degree C\qquad(9)

9 класс — решение из архива