Съдържание

IEPhO 2018, Експеримент, 8–9 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Плотность материала магнитных шариков — IEPhO 2018

Внимание: Бележка към темата

Сохранены оба полных архивных решения «Плотность материала магнитных шариков»: 8 и 9 классы, каждое со своей исходной установкой и графиком. Условие в папках 8/d3 и 9/d3 совпадает побайтно и не печатает класс. Отдельная официальная публикация ключей не установлена, решения атрибутированы архиву.

Примечание к архивным решениям

Оба источника перед формулой (4) печатают «Запишем уравнение 1», хотя предыдущее равенство сил имеет номер (3). В последнем слагаемом правой части формулы (4) множитель g не напечатан. В формуле (6) единица углового коэффициента напечатана как см⁻¹, хотя на графике h измеряется в сантиметрах, а N обозначает число шариков. Эти исходные расхождения сохранены буквально; исправленный ключ не добавлялся. Оба решения содержат одинаковые семь измерений и результат 7.7±0.9 г/см³, но разные печатные заголовки классов и исходные сканы. Баллы, критерии и отдельный вывод погрешности в трёхстраничных ключах не напечатаны.

Условие

В этой задаче требуется оценка погрешностей!

Задание

Определите плотность материала, из которого изготовлены магнитные шарики.

Оборудование. Мерный цилиндр с водой (0,5 л), линейка пластиковая (50 см), трубочка пластиковая с одним закрытым концом, цилиндрический магнит, 10 магнитных шариков.

Примечание. Объемы шара и цилиндра вычисляются по следующим формулам

V_{ш} = \dfrac{\pi D^3}{6}, \quad (1)

где $D$ - диаметр шара.

V_{ц} = \dfrac{\pi D^2 H}{4}, \quad (2)

где $D$ - диаметр цилиндра, $H$ - его высота.

Плотность воды $\rho_0 = 1000\ \dfrac{\mathrm{кг}}{\mathrm{м}^3}$

За каждый утерянный магнит Вы будете оштрафованы снятием 0,5 балла!

Решение

8 класс — Плотность материала магнитных шариков. Решение

Соберем установку, изображенную на рисунке 1. Для закрепления магнитных шариков на внешней поверхности трубки поместим в трубку цилиндрический магнит.

Исходная установка: мерный цилиндр с водой, погружённая трубочка, прикреплённые магнитные шарики и стрелка глубины h; сохранены все печатные подписи и полный рисунок. — Рис. 1. Установка для измерения плотности шариков

Глубина погружения трубки зависит от количества шариков $N$ , прикрепленных к трубке. Для системы трубка + шарики можно записать равенство сил, действующих вверх и вниз:

F_{Ат}+NF_{Аш}=Mg+Nmg,\quad(3)

где $F_{Ат}$ - сила Архимеда, действующая на трубку, $F_{Аш}$ - сила Архимеда, действующая на один шарик, $Mg$ - сила тяжести, действующая на трубку, $mg$ - сила тяжести, действующая на один шарик. Запишем уравнение 1 более подробно:

\rho_0\frac{\pi D^2}{4}hg+N\rho_0\frac{\pi d^3}{6}g=Mg+N\rho\frac{\pi d^3}{6},\quad(4)

где $D$ - диаметр трубочки, $d$ - диаметр магнитного шарика, $\rho_0$ - плотность воды, $\rho$ - плотность материала шариков, $h$ - глубина погружения трубочки. Преобразуем полученное уравнение:

h-\frac{4M}{\rho_0\pi D^2}=N\left(\frac{\rho}{\rho_0}-1\right)\frac{2d^3}{3D^2},\quad(5)

Видно, что зависимость $h(N)$ линейная с угловым коэффициентом, зависящим от плотности материала магнитных шариков, диаметра шариков и диаметра трубочки.

Снимем зависимость глубины погружения трубочки от количества шариков:

N	h, см
3.0	21.4
4.0	23.0
5.0	24.6
6.0	27.0
7.0	28.2
8.0	30.4
9.0	32.6

Построим график зависимости $h(N)$ . И рассчитаем его угловой коэффициент:

A=\left(\frac{\rho}{\rho_0}-1\right)\frac{2d^3}{3D^2}=1.86\pm0.06\ \mathrm{см}^{-1},\quad(6)

Исходный график h(N) со всеми точками, сеткой, осями и делениями; h в сантиметрах, N от3.0 до10.0, напечатанная прямая h =1.86·N+15.6. — График зависимости h от N

Для определения диаметра трубочки воспользуемся методом прокатывания. Трубочка пройдет под линейке $l_1=86\pm1$ мм, совершив $n_1=5$ оборотов. Таким образом диаметр трубочки составит:

D=\frac{l_1}{n_1\pi}=5.48\pm0.07\ \mathrm{мм},\quad(7)

Для определения диаметра шариков уложим в ряд $n_2=10$ шариков и измерим длину получившейся цепочки $l_2=50\pm1$ мм.

d=\frac{l_2}{n_2}=5.0\pm0.1\ \mathrm{мм},\quad(8)

Окончательно рассчитаем плотность материала шариков:

\rho=\rho_0\left(\frac{3AD^2}{2d^3}+1\right)=7.7\pm0.9\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3},\quad(9)

9 класс — Плотность материала магнитных шариков. Решение

F_{Ат}+NF_{Аш}=Mg+Nmg,\quad(3)

\rho_0\frac{\pi D^2}{4}hg+N\rho_0\frac{\pi d^3}{6}g=Mg+N\rho\frac{\pi d^3}{6},\quad(4)

h-\frac{4M}{\rho_0\pi D^2}=N\left(\frac{\rho}{\rho_0}-1\right)\frac{2d^3}{3D^2},\quad(5)

Снимем зависимость глубины погружения трубочки от количества шариков:

N	h, см
3.0	21.4
4.0	23.0
5.0	24.6
6.0	27.0
7.0	28.2
8.0	30.4
9.0	32.6

Построим график зависимости $h(N)$ . И рассчитаем его угловой коэффициент:

A=\left(\frac{\rho}{\rho_0}-1\right)\frac{2d^3}{3D^2}=1.86\pm0.06\ \mathrm{см}^{-1},\quad(6)

D=\frac{l_1}{n_1\pi}=5.48\pm0.07\ \mathrm{мм},\quad(7)

Для определения диаметра шариков уложим в ряд $n_2=10$ шариков и измерим длину получившейся цепочки $l_2=50\pm1$ мм.

d=\frac{l_2}{n_2}=5.0\pm0.1\ \mathrm{мм},\quad(8)

Окончательно рассчитаем плотность материала шариков:

\rho=\rho_0\left(\frac{3AD^2}{2d^3}+1\right)=7.7\pm0.9\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3},\quad(9)

Оригинал в Архива: 8_3_magnets_prob.pdf · решение от архива: 8_3_magnets_sol.pdf · допълнителни данни: 9_3_magnets_sol.pdf