Съдържание

IEPhO 2018, Експеримент, 9–10 клас — Задача 1. Мнимое изображение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2018

Мнимое изображение — IEPhO 2018

Внимание: Бележка към темата

Восстановлено полное архивное решение с пометкой «9 класс». Сохранены печатные обозначения b = BO и H/h, слово «воды» для неизвестной жидкости, незакрытая скобка перед рисунком3 и повтор «под под» в подписи. В ключе приведены итоговые погрешности без отдельного вывода их оценки; числовой критерий оценивания не напечатан. Отдельный ключ10класса здесь не сопоставлялся. Архивный источник; публикация организатором независимо не установлена.

Условие

В этой задаче требуется оценка погрешностей!

Оборудование. Штатив, линза, светодиод, соединительные провода с зажимами крокодил, батарейки, 2 линейки, стакан с неизвестной жидкостью, мензурка, маленькие листы бумаги.

1. Нарисуйте тонкую собирающую линзу. Изобразите точечный источник света на расстоянии $a$ большем, чем фокусное расстояние $F$ линзы. Постройте изображение этого источника. Выведите формулу, связывающую величину $\frac{1}{a}$ , обратную расстоянию между источником и линзой, величину $\frac{1}{b}$ , обратную расстоянию $b$ между изображением и линзой, и величину $\frac{1}{F}$ , обратную фокусному расстоянию линзы. Полученное выражение в дальнейшем будем называть формулой тонкой линзы.

2. Соберите установку для измерения фокусного расстояния линзы. Для этого Вам необходимо измерить зависимость расстояния $a$ между светодиодом (его можно считать точечным источником света) и линзой от расстояния $b$ между линзой и четким изображением светодиода на экране. Используя формулу тонкой линзы, рассчитайте фокусное расстояние линзы. Оцените погрешность измеренного значения.

3. Зажмите в лапке штатива линейку. На дно мензурки поместите светодиод. Залейте в мензурку неизвестную жидкость так, чтобы светодиод был полностью погружен. Расположите линзу непосредственно над горлышком мензурки. Измерьте зависимость расстояния между линзой и четким изображением светодиода от высоты столба жидкости в мензурке.

4. Столб неизвестной жидкости создает промежуточное мнимое изображение светодиода, которое, после прохождения лучами линзы, преобразуется в действительное изображение на экране. Используя данные, полученные в пунктах 2 и 3, рассчитайте зависимость расстояния между линзой и мнимым изображением светодиода от высоты столба жидкости в мензурке. Постройте график этой зависимости. Найдите его угловой коэффициент.

5. Используя данные, полученные в пункте 4, рассчитайте показатель преломления неизвестной жидкости. Укажите расчетную формулу и оцените погрешность ответа.

Решение

9 класс. Решение

Оригинальное построение изображения в собирающей линзе: все лучи, стрелки, точки и метки. — Рис. 1. Построение изображения в линзе

1.

Из подобия треугольников $ABO$ , $A_1B_1O$ , $OO_1F$ и $A_1B_1F$ (см. рисунок1) несложно получить, что:

\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.\qquad (1)

где $F=OF$ — фокусное расстояние линзы, $a=AO$ — расстояние между линзой и источником, $b=BO$ — расстояние между линзой и изображением.

2.

Снимем зависимость расстояния между концом прозрачной части светодиода и линзой от расстояния между линзой и четким изображением светодиода. Изображение светодиода будем искать с помощью белой бумаги, используя ее как экран.

Оригинальная таблица пяти измерений a, b и F со всеми заголовками, строками и внешними границами.

$a$ , см	$b$ , см	$F$ , см
20.0	44.5	13.80
30.0	25.7	13.84
25.0	30.0	13.64
35.0	22.9	13.84
40.0	21.0	13.77

Усредним, полученные для фокуса линзы значения:

F=13.78\pm0.06\ \text{см}.\qquad (2)

3.

Соберем установку, изображенную на рисунке2. Снимем зависимость расстояния между линзой и изображением светодиода от высоты уровня жидкости в мензурке.

Оригинальная установка со светодиодом, батарейкой, проводами, жидкостью, линзой, линейкой и метками a,b,h. — Рис. 2. Установка для определения коэффициента преломления неизвестной жидкости

Оригинальная таблица четырнадцати измерений h,b,a со всеми заголовками, строками и внешними границами.

$h$ , см	$b$ , см	$a$ , см
3.6	30.7	25.1
4.9	31.2	24.7
6.0	31.6	24.5
7.5	32.1	24.2
9.7	32.6	23.9
11.4	34.1	23.2
13.2	34.6	23.0
14.3	35.3	22.7
15.1	36.4	22.2
16.4	36.7	22.1
17.8	38.3	21.6
19.5	38.9	21.4
20.5	39.9	21.1
21.4	41.2	20.8

4.

С помощью формулы тонкой линзы рассчитаем расстояние между линзой и мнимым изображением светодиода в толще воды, которое является источником для формирования изображения в линзе.

a=\frac{bF}{b-F}.\qquad (3)

И построим график зависимости $a(h)$ .

Оригинальный график зависимости a от h со всей рамкой, точками, линией, делениями, осями, формулой и легендой.

Определим модуль углового коэффициента графика:

\gamma=0.240\pm0.006.\qquad (4)

5.

Модуль углового коэффициента графика связан с показателем преломления выражением, которое несложно вывести из законов геометрической оптики. Нарисуем ход лучей от точечного источника, находящегося под поверхностью жидкости (рисунок3. Будем рассматривать только лучи, имеющие малый угол отклонения от перпендикуляра к поверхности жидкости. Для таких лучей углы падения и преломления малы, поэтому можно пользоваться приближением равенства угла падения или преломления в радианах синусу и тангенсу соответствующего угла.

Оригинальный ход лучей под поверхностью жидкости со всеми стрелками, мнимым изображением, метками L,h,a,x,l и углами. — Рис. 3. Ход лучей выходящих из точечного источника, находящегося под под поверхностью жидкости.

Запишем исходную систему уравнений связи для геометрических величин, указанных на рисунке:

\left\{\begin{aligned}\operatorname{tg}\alpha_1&=\frac{l}{h},\\\operatorname{tg}\alpha_2&=\frac{l}{x},\\\sin\alpha_1\cdot n&=\sin\alpha_2.\end{aligned}\right.\qquad (5)

В силу малости углов:

\sin\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha,\qquad\frac{nl}{h}=\frac{l}{x},\qquad x=\frac{h}{n}.\qquad (6)

Тогда:

a=L-H+x=L-\left(h-\frac{h}{n}\right)=L-\left[\frac{n-1}{n}\right]h.\qquad (7)

Откуда для углового коэффициента графика получаем:

\gamma=\frac{n-1}{n}.\qquad (8)

И окончательно для углового коэффициента:

n=\frac{1}{1-\gamma}=1.32\pm0.01.\qquad (9)

Дополнительное архивное издание решения — 10 класс

Отдельный архивный оригинал «Мнимое изображение» с печатной пометкой «10 класс», IEPhO 2018, содержит задание и решение на пяти нумерованных страницах, объединённых в три страницы PDF. Ниже сохранено это издание, включая его измерения и исходные обозначения. В формуле (7) напечатано H, затем h; в пояснении к формуле (1) напечатано b = BO. Перед рисунком 3 скобка не закрыта, в его подписи повторено «под под», а перед итоговым показателем преломления n написано «для углового коэффициента». Эти особенности оригинала сохранены. Отдельная официальная публикация и балльная схема в этом источнике не установлены. Решение с пометкой «9 класс» выше сохранено как отдельное архивное издание.

Мнимое изображение — 10 класс: задание и начало решения

В этой задаче требуется оценка погрешностей!

Задание

Нарисуйте тонкую собирающую линзу. Изобразите точечный источник света на расстоянии $a$ большем, чем фокусное расстояние $F$ линзы. Постройте изображение этого источника. Выведите формулу, связывающую величину $1/a$ , обратную расстоянию между источником и линзой, величину $1/b$ , обратную расстоянию $b$ между изображением и линзой, и величину $1/F$ , обратную фокусному расстоянию линзы. Полученное выражение в дальнейшем будем называть формулой тонкой линзы.
Соберите установку для измерения фокусного расстояния линзы. Для этого Вам необходимо измерить зависимость расстояния $a$ между светодиодом (его можно считать точечным источником света) и линзой от расстояния $b$ между линзой и четким изображением светодиода на экране. Используя формулу тонкой линзы, рассчитайте фокусное расстояние линзы. Оцените погрешность измеренного значения.
Зажмите в лапке штатива линейку. На дно мензурки поместите светодиод. Залейте в мензурку неизвестную жидкость так, чтобы светодиод был полностью погружен. Расположите линзу непосредственно над горлышком мензурки. Измерьте зависимость расстояния между линзой и четким изображением светодиода от высоты столба жидкости в мензурке.
Столб неизвестной жидкости создает промежуточное мнимое изображение светодиода, которое, после прохождения лучами линзы, преобразуется в действительное изображение на экране. Используя данные, полученные в пунктах 2 и 3, рассчитайте зависимость расстояния между линзой и мнимым изображением светодиода от высоты столба жидкости в мензурке. Постройте график этой зависимости. Найдите его угловой коэффициент.
Используя данные, полученные в пункте 4, рассчитайте показатель преломления неизвестной жидкости. Укажите расчетную формулу и оцените погрешность ответа.

Оборудование. Штатив, линза, светодиод, соединительные провода с зажимами крокодил, батарейки, 2 линейки, стакан с неизвестной жидкостью, мензурка, маленькие листы бумаги.

Решение

Рис. 1. Построение изображения в линзе

Рис. 1. Построение изображения в линзе

Из подобия треугольников $ABO$ , $A_1B_1O$ , $OO_1F$ и $A_1B_1F$ (см. рисунок 1) несложно получить, что:

\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.

(1)

Снимем зависимость расстояния между линзой и концом прозрачной части светодиода от расстояния между линзой и четким изображением светодиода. Изображение светодиода будем искать с помощью белой бумаги, используя ее как экран.

$a$ , см	$b$ , см	$F$ , см
20.0	44.5	13.80
30.0	25.7	13.84
25.0	30.0	13.64
35.0	22.9	13.84
40.0	21.0	13.77

Усредним, полученные для фокуса линзы значения:

F=13.78\pm0.06\text{ см}.

(2)

Соберем установку, изображенную на рисунке 2. Снимем зависимость расстояния между линзой и изображением светодиода от высоты уровня жидкости в мензурке.

Мнимое изображение — 10 класс: установка, измерения и график

Рис. 2. Установка для определения коэффициента преломления неизвестной жидкости

Рис. 2. Установка для определения коэффициента преломления неизвестной жидкости

$h$ , см	$b$ , см	$a$ , см
3.6	30.7	25.1
4.9	31.2	24.7
6.0	31.6	24.5
7.5	32.1	24.2
9.7	32.6	23.9
11.4	34.1	23.2
13.2	34.6	23.0
14.3	35.3	22.7
15.1	36.4	22.2
16.4	36.7	22.1
17.8	38.3	21.6
19.5	38.9	21.4
20.5	39.9	21.1
21.4	41.2	20.8

С помощью формулы тонкой линзы рассчитаем расстояние между линзой и мнимым изображением светодиода в толще воды, которое является источником для формирования изображения в линзе.

a=\frac{bF}{b-F}.

(3)

И построим график зависимости $a(h)$ .

График зависимости a от h

График зависимости $a$ от $h$

Определим модуль углового коэффициента графика:

\gamma=0.240\pm0.006.

(4)

Модуль углового коэффициента графика связан с показателем преломления выражением, которое несложно вывести из законов геометрической оптики. Нарисуем ход лучей от точечного источника, находящегося под поверхностью жидкости (рисунок 3. Будем рассматривать только лучи, имеющие малые углы отклонения от перпендикуляра к поверхности жидкости. Для таких лучей углы падения и преломления малы, поэтому можно пользоваться приближённым равенством угла падения или преломления в радианах синусу и тангенсу соответствующего угла.

Мнимое изображение — 10 класс: вывод показателя преломления

Рис. 3. Ход лучей выходящих из точечного источника, находящегося под под поверхностью жидкости

Рис. 3. Ход лучей выходящих из точечного источника, находящегося под под поверхностью жидкости

Запишем исходную систему уравнений связи для геометрических величин, указанных на рисунке.

\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{l}{h};\qquad\operatorname{tg}\alpha_2=\frac{l}{x};\qquad\sin\alpha_1\cdot n=\sin\alpha_2.

(5)

В силу малости углов:

\sin\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha,\qquad\frac{nl}{h}=\frac{l}{x},\qquad x=\frac{h}{n}.

(6)

Тогда:

a=L-H+x=L-\left(h-\frac{h}{n}\right)=L-\frac{n-1}{n}h.

(7)

Откуда для углового коэффициента графика получаем:

\gamma=\frac{n-1}{n}.

(8)

И окончательно для углового коэффициента:

n=\frac{1}{1-\gamma}=1.32\pm0.01.

(9)

Оригинал в Архива: 9_1_image_prob.pdf · решение от архива: 9_1_image_sol.pdf · допълнителни данни: 10_1_image_sol.pdf