Съдържание

Условие Часть 1. Теоретическая Часть 2. Изменение длины Отговори Решение

IEPhO 2019, Експеримент, 10. клас — Задача 4. Упругость трубки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2019

International Experimental Physics Olympiad – 2019, Belarus. Второй тур, 10-4. Упругость трубки

Погрешности

В задаче требуется оценка погрешностей!

Внимание

Внимание! Не повреждайте трубку и не оставляйте на ней пометок!

Условие

Часть 1. Теоретическая

Упругие свойства твердого тела зависят как от геометрических параметров конкретного образца, так и от свойств вещества, из которого он состоит. Для описания упругих свойств при малых деформациях достаточно двух характеристик: модуля Юнга $E$ и коэффициента Пуассона $\mu$ .

Модуль Юнга определяется как коэффициент пропорциональности в формуле, связывающей напряжение $\sigma$ , возникающее в образце при его продольном растяжении, и относительное удлинение образца $\varepsilon_{||} = \Delta l/l$ (см. рисунок 1):

\sigma = E\varepsilon_{||}, \qquad (1)

где по определению $\sigma = F_n/S$ .

Брусок до и после растяжения: исходный брусок длиной l, шириной b и высотой h (серый контур) и растянутый брусок длиной l+Δl с поперечными размерами b+Δb и h+Δh; к концам приложены силы −F_n (влево) и F_n (вправо). — Рис. 1. Упругие деформации.

1. Запишите выражение для коэффициента жесткости $k$ бруска размерами $b \times h \times l$ , изготовленного из материала с модулем Юнга $E$ при его растяжении вдоль стороны длиной $l$ .

Для описания деформации тела в направлении, перпендикулярном направлению приложенной силы, используют коэффициент Пуассона $\mu$ , связывающий величины продольной $\varepsilon_{||}$ и поперечной $\varepsilon_{\perp}$ деформаций:

\varepsilon_{\perp} = \frac{\Delta b}{b} = \frac{\Delta h}{h} = -\mu\varepsilon_{||}. \qquad (2)

2. Для материала с коэффициентом Пуассона $\mu$ и модулем Юнга $E$ свяжите относительное изменение объема $\varepsilon_V = \Delta V/V$ с величиной продольной деформации $\varepsilon_{||}$ . Силы, приложенные к бруску, направлены вдоль оси, параллельной стороне длиной $l$ .

Часть 2. Изменение длины

3. Определите площадь внутреннего сечения трубки $a$ и площадь сечения ее стенок $A$ (см. рисунок 2).

Поперечное сечение трубки: серое кольцо (стенки, обозначено стрелкой A) с белым кругом внутри (внутреннее сечение, обозначено стрелкой a). — Рис. 2. Внутреннее сечение и сечение стенок трубки.

4. Расположите трубку горизонтально. Закрепите один из ее концов при помощи струбцины. В другой конец вставьте поршень с крючком. Прикрепите к крючку динамометр и измерьте зависимость его показаний от длины трубки $l$ . Постройте график зависимости относительного удлинения трубки $\varepsilon_l$ от растягивающей ее силы $F$ . Укажите, на каком участке полученного графика зависимость описывается линейной функцией, и найдите модуль Юнга трубки по этому участку.

5. При изменении длины трубки $l$ изменяется также ее внутренний объем $V$ . Предложите способ, позволяющий зарегистрировать это изменение при неизменном давлении внутри трубки. Проведите измерения для разных удлинений трубки и постройте график зависимости $\varepsilon_V$ от $\varepsilon_l$ . Определите коэффициент Пуассона материала трубки.

Примечание. Плотность воды считайте равной точно 1 г/см $^3$ .

Оборудование. Трубка силиконовая, шприц на 1 мл, весы, один поршень от шприца с крючком для присоединения динамометра, шприц 20 мл, динамометр 5 Н, струбцина, мерная лента, мерный цилиндр 100 мл, пластиковая чашка с водой, скотч (по требованию).

Отговори

Решение

Часть 1. Теоретическая

Используя приведенные определения, получим $k = Ebh/l$ .
Выражение для малого относительного изменения объема можно преобразовать следующим образом:

\frac{\Delta V}{V} \approx \Delta\ln(V) = \Delta\ln(b) + \Delta\ln(h) + \Delta\ln(l) \approx \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta h}{h} + \frac{\Delta l}{l} = \frac{\Delta l}{l}(1 - 2\mu) \qquad (3)

Часть 2. Изменение длины

Для определения внутреннего сечения трубки наберем воду в часть трубки длиной $l_1 = (100.8 \pm 0.1)$ см. При помощи весов определим массу набранной в трубку воды $m_1 = (11.80 \pm 0.03)$ г. Зная плотность воды $\rho = 1.0$ г/см $^3$ , получаем для внутреннего сечения трубки:

a = \frac{m_1}{\rho l_1} = (11.71 \pm 0.04)\ \mathrm{мм}^2. \qquad (4)

Для определения площади сечения стенок трубки опустим ее часть длиной $l_2 = (15.0 \pm 0.1)$ см в мерный цилиндр, поставленный на весы, придерживая трубку так, чтобы она не касалась дна и стенок мерного цилиндра. На воду в цилиндре будет действовать сила (равная, по третьему закону Ньютона, силе Архимеда, действующей на трубку), которая приведет к изменению показаний весов на величину $m_2 = (4.06 \pm 0.03)$ г. Отсюда для сечения стенок трубки получим:

A = \frac{m_2}{\rho l_2} = (27.1 \pm 4.0)\ \mathrm{мм}^2. \qquad (5)

Снимем зависимость длины трубки $\varepsilon_l = \Delta l/l$ от растягивающей ее силы $F$ :

$l$ , см	$F$ , Н	$\varepsilon_l$ , %
99.2	0.0	0.00
100.2	1.0	1.01
101.2	2.0	2.02
102.2	3.0	3.02
103.4	4.0	4.23
104.5	5.0	5.34

Построим график полученной зависимости:

На начальном этапе график соответствует прямой линии. В этих пределах можно считать, что длина трубки и сечение ее стенок неизменно. Дальнейшее отклонение графика от прямой линии свидетельствует об уменьшении сечения стенок трубки, что приводит к уменьшению коэффициента жесткости. Определим угловой коэффициент линии, аппроксимирующей график на начальном этапе $k_1 = (1.00 \pm 0.04) \cdot 10^{-2}\ \mathrm{Н}^{-1}$ . С учетом площади сечения стенок трубки получим для модуля Юнга:

E = (Ak_1)^{-1} = (3.7 \pm 0.2) \cdot 10^6\ \mathrm{Па}. \qquad (6)

Заполним трубку водой практически полностью. Один конец трубки заткнем поршнем от шприца с крючком, а в другой конец вставим корпус второго шприца (левый и правый концы трубки соответственно на рисунке 3). Сообщающийся с атмосферой конец трубки зафиксируем струбциной на столе, а другой будем тянуть рукой.

Объем воды внутри трубки трубки неизменен. Обозначим этот объем $v$ . Тогда объем всей трубки можно рассчитать как:

V = v\frac{y}{y - x}, \qquad (7)

а его относительное изменение так:

\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{y}{y_0}\frac{y_0 - x_0}{y - x} - 1. \qquad (8)

По аналогии с пунктом 2 можно получить:

\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\Delta y}{y_0} - \frac{\Delta a}{a_0} = \frac{\Delta y}{y_0}(1 - 2\mu). \qquad (9)

Снимем зависимость координаты жидкости в трубке $x$ от длины трубки $y$ . Рассчитаем относительное удлинение трубки и относительное изменение объема ее внутренней части для каждой ее длины.

$y$ , см	$x$ , см	$\varepsilon_y$ , %	$\varepsilon_V$ , %
98.7	0.9	0.00	0.00
103.7	1.5	5.07	0.54
108.7	2.3	10.13	1.23
113.7	3.0	15.20	1.77
118.7	4.0	20.26	2.54
128.7	5.7	30.40	3.68

Построим график зависимости $\varepsilon_V(\varepsilon_y)$ :

Угловой коэффициент прямой, описывающей зависимость, составляет $k_2 = 0.123 \pm 0.004$ . Откуда коэффициент Пуассона:

\mu = \frac{1 - k_2}{2} = 0.438 \pm 0.002 \qquad (10)

График на миллиметровой сетке: по горизонтали F, Н от 0 до 6.0, по вертикали ε_l, % от 0 до 6.0; шесть синих точек (0; 0), (1; 1.01), (2; 2.02), (3; 3.02), (4; 4.23), (5; 5.34) и прямая через начало координат до точки (5; 5). — График зависимости $\varepsilon_l$ от $F$

Схема трубки с водой в двух положениях (до и после растяжения): слева поршень с крючком, справа корпус шприца; под верхней трубкой ось координат, направленная влево, с отметками 0, x_0, y_0 для начального положения и x, y для растянутой трубки. — Рис. 3. Установка для измерения коэффициента Пуассона материала трубки

График на миллиметровой сетке: по горизонтали ε_y, % от 0 до 34, по вертикали ε_V, % от 0 до 4.0; синие точки (0; 0), (5.07; 0.54), (10.13; 1.23), (15.20; 1.77), (20.26; 2.54), (30.40; 3.68) и аппроксимирующая прямая через начало координат. — График зависимости $\varepsilon_V$ от $\varepsilon_y$

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Еластичност

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: 10_2_pipe.pdf