Съдържание

IEPhO 2019, Експеримент, 11. клас — Задача 3.1. Часть 1. Теоретическое введение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2019

International Experimental Physics Olympiad – 2019, Belarus. Второй тур, 11-3. Струна с трением

Условие

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Внимание! Не направляйте свет стробоскопа в глаза!

Рассмотрим натянутую резинку с жестко закрепленными концами. Сила натяжения резинки в этом положении — $T$ , длина — $L$ .

Резинка длиной L, закрепленная между двумя вертикальными стенками; зеленая кривая — отклоненная резинка, пунктир — положение равновесия; оси y (вверх) и x (вправо), размерная стрелка L между стенками. — Рис. 1. Колебания резинки с закрепленными концами

Резинку отклонили в перпендикулярном направлении (см. рисунок 1). Рассмотрим ее маленький участок, отстоящий от начального положения на величину $y$ .

1. Считая, что отклонение мало, запишите уравнение движения этого участка и приведите его к виду (здесь точка — производная по времени, штрих — по координате $x$ ):

\ddot{y} = v^2 y''. \qquad (1)

При каких условиях это можно сделать? Выразите коэффициент $v$ через параметры резинки и силу натяжения. (Частичный балл за этот пункт можно получить за вывод из соображений размерности).

2. Среди решений этого уравнения найдем такие, которые описывают гармонические колебания всех участков резинки с одинаковой частотой $\omega$ и начальной фазой $\phi$ :

y(x,t) = A(x)\cos(\omega t + \phi). \qquad (2)

Какой вид должна иметь функция $A(x)$ , чтобы $y(x,t)$ удовлетворяла уравнению (1)? Какие из найденных вами решений описывают колебания резинки с жестко закрепленными на расстоянии $L$ краями?

3. Зарисуйте качественный вид функции $A(x)$ для нескольких (не менее четырех) различных типов решений.

Найденные вами типы решений, каждое из которых описывает колебания с частотой и фазой $\phi$ , одинаковые для разных частей резинки, называют нормальными колебаниями. Можно показать, что в условиях, при которых колебания резинки описываются уравнением (1), любое ее движение можно представить как сумму нормальных колебаний с некоторыми амплитудами, определяемыми только исходя из начальных условий (т.е. способа, которым были возбуждены колебания в исходно покоящейся резинке).

Отговори

Решение

Решение

Часть 1. Теоретическое введение

Малость отклонения по сравнению с длиной резинки позволяет считать угол между участком резинки и $Ox$ малым. Если, к тому же, она натянута достаточно сильно, чтобы пренебречь изменением натяжения из-за увеличения длины, а также силой тяжести, второй закон Ньютона в проекции на $Oy$ для маленького участка резинки с координатами $(x, y(t))$ и длиной $dx$ имеет следующий вид:

dm\ddot{y} = T(\sin(\alpha(x+dx)) - \sin(\alpha(x))) \approx T\left(y'(x+dx) - y'(x)\right) \approx Ty''dx, \qquad (3)

откуда получаем волновое уравнение:

\ddot{y} = \frac{T}{\rho(L)}y''. \qquad (4)

Здесь $\rho = dm/dx$ — линейная плотность резинки. Из этого уравнения заключаем $v = \sqrt{T/\rho(L)}$ .

Подстановка (2) в (1) приводит к следующему уравнению:

A'' + \frac{\omega^2}{v^2}A = 0. \qquad (5)

Это уравнение колебаний (с тем отличием, что вместо времени здесь координата), решения которого можно записать в виде:

A(x) = A_0\sin\left(\frac{\omega}{v}x + \psi\right). \qquad (6)

Для того, чтобы это решение описывало резинку, закрепленную на концах, нам нужно потребовать $y(x=0,t) = y(x=L,t) = 0$ :

\begin{cases} \sin(\psi) = 0, \\ \sin\left(\frac{\omega}{v}L + \psi\right) = 0, \end{cases} \qquad (7)

откуда следует условие $\omega = \frac{\pi v}{L}n = \omega_0 n$ , где $n$ — произвольное натуральное число.

Решение, соответствующее номеру $n$ , имеет форму синусоиды с $n-1$ нулем на отрезке $(0; L)$ (см. первые четыре решения на рисунке 3).

Четыре схемы резинки, закрепленной между двумя горизонтальными планками, с пунктирным положением равновесия: (a) n = 1 — одна полуволна, (b) n = 2, (c) n = 3, (d) n = 4 — соответственно две, три и четыре полуволны. — Рис. 3. Решения с разными частотами.

Указания.

Для включения стробоскопа в течение $2-3$ с удерживайте нажатой кнопку «READ».
Для увеличения частоты нажмите кнопку «UP», для уменьшения — «DOWN». Если вам нужно значительно поменять частоту, зажимайте вышеуказанные кнопки для быстрого изменения частоты.
В используемом в задаче диапазоне частот при однократном нажатии на кнопки «UP», «DOWN» частота изменяется на 10 $RPM$ (от англ. «колебаний в минуту»). Для более точных измерений нажмите на кнопку «FINE ADJUST», это переключит стробоскоп в режим точной настройки. Для выхода из этого режима еще раз нажмите «FINE ADJUST».

Оборудование.

Штатив с двумя лапками и тремя муфтами, резинка известной линейной плотности 3.80 г/м, трубка, стробоскоп, кусок мела для нанесения пометок на резинку, линейка 50 см.

Оригинал в Архива: 11_2_string.pdf