Съдържание

IEPhO 2019, Експеримент, 8–9 клас — Задача 4. Упругость шнура

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IEPhO 2019

International Experimental Physics Olympiad – 2019, Belarus. Второй тур, 8-4. Упругость шнура

Внимание: Бележка към темата

Решение «Упругость шнура» напечатано в самом оригинале 8_2_cord.pdf, с. 2–5. Полный оригинал 9_2_cord.pdf содержит то же условие и решение; на всех пяти страницах отличается только колонтитул «Второй тур, 8-4» / «Второй тур, 9-4». Одна задача предложена обоим классам. Архивный файл 8_1_solder.pdf содержит другую задачу — «Припой» — и исключён из источников этого решения. Все исходные тексты, формулы, таблицы и три рисунка сохранены.

Вариант для 9 класса

Оригинал 9_2_cord.pdf содержит полное условие с пятью пунктами и то же авторское решение на страницах 2–5. На каждой странице его колонтитул — «Второй тур, 9-4», а в основном оригинале — «Второй тур, 8-4». Оба полных оригинала относятся к одной задаче «Упругость шнура» и сохранены в источниках.

Условие

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Задание

Деформация растяжения-сжатия характеризуется изменением не только продольных, но и поперечных размеров тел. При этом объем тела может также меняться. В качестве исследуемого тела в задаче будет использоваться резиновый шнур.

1. Подвесьте резиновый шнур, зажав его верхнюю часть в лапке штатива. Измерьте зависимость длины шнура $l$ от количества подвешенных грузиков. Рассчитайте относительную длину шнура $l/l_0$ , то есть отношение длины шнура под нагрузкой к его длине $l_0$ без нагрузки, в каждом случае.

2. Измерьте плотность выданных грузиков.

3. Придумайте и опишите способ измерения площади поперечного сечения шнура под нагрузкой и без нагрузки, использующий законы гидростатики. Измерьте площадь поперечного сечения шнура $s_0$ без нагрузки. Измерьте зависимость площади поперечного сечения шнура $s$ под нагрузкой от силы, растягивающей шнур. Рассчитайте относительную площадь шнура $s/s_0$ , то есть отношение площади поперечного сечения шнура под нагрузкой к площади его сечения без нагрузки, при каждом значении растягивающей силы.

4. Постройте на одном и том же графике измеренную в первом пункте зависимость относительной длины шнура от растягивающей силы и измеренную в третьем пункте зависимость относительной площади шнура от растягивающей силы. Нарисуйте сглаживающие кривые.

5. По полученным графикам рассчитайте относительный объем шнура $V/V_0$ , то есть отношение объема шнура $V$ под нагрузкой к его объему $V_0$ без нагрузки при нескольких значениях растягивающей силы. Нанесите полученные точки на график, построенный в четвертом пункте. Проведите сглаживающую кривую.

Внимание! Общая масса грузов, находящихся на весах, не должна превышать 300 г.

Оборудование. Резиновый шнур, штатив, линейка 50 см, мерный цилиндр 250 мл, 5 грузиков, весы, стакан с водой.

Примечание. Примите ускорение свободного падения $g = 10\ \mathrm{м/с^2}$ .

Отговори

Решение

Решение

Измерим зависимость длины шнура от количества подвешенных грузиков. Рассчитаем силу, растягивающую шнур, как произведение массы грузика, количества подвешенных грузиков и ускорения свободного падения: $F = nmg$ .

$n$	$F$ , H	$l$ , см	$\frac{l}{l_0}$
0	0.0	25.5	1.00
1	0.5	26.5	1.04
2	1.0	29.0	1.14
3	1.5	32.0	1.25
4	2.0	35.7	1.40
5	2.5	41.7	1.64

Измерим точно массу 5 грузиков $m_5 = 251.3$ г. Подвесим грузики к резинке. Поставим на весы мерный цилиндр и нальем в него 200-250 мл воды. Обнулим показания весов и погрузим грузики в воду так, чтобы, с одной стороны, грузики не касались дна цилиндра и были полностью погружены в воду, а с другой место крепления верхнего крючка грузика к резинке в воду не погружалось. Показания весов будут равны отношению силы Архимеда, действующей на воду со стороны грузиков, к ускорению свободного падения, то есть объему грузиков, умноженному на плотность воды в цилиндре: $F_{\mathrm{А}}/g = \rho_{\mathrm{в}} V_5$ . Плотность воды составляет 1 г/см $^3$ . Таким образом, показания весов равны объему погруженных в нее грузиков $V_5 = 32.0$ мл. Отсюда плотность материала грузиков:

\rho = \frac{m_5}{V_5} = 7.85\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3} \qquad (1)

Измерение площади сечения может быть сделано несколькими методами. Самый простой из них — метод рядов. В нем шнур наматывается на любой цилиндрический объект виток к витку. По линейке определяется толщина намотки, откуда можно сделать вывод о диаметре шнура. Такой метод обладает большой систематической ошибкой в сторону завышения результата для диаметра, ведь при намотке шнура на цилиндрический объект в нем возникают упругие напряжения вдоль оси шнура и вдоль радиальной оси цилиндрического объекта, которые приводят к изменению геометрических размеров шнура (см. рисунок 1). Это дает существенную ошибку в измерениях диаметра, особенно заметную в случае измерения при больших силах растяжения. Эффект этот тем больше, чем меньше радиус кривизны цилиндрической поверхности. Особенно наглядно его можно наблюдать, если вместо цилиндрической поверхности наматывать шнур на линейку. В этом случае отчетливо видно, что толщина шнура в местах перегиба существенно больше, чем на прямых участках.

Схема метода рядов: четыре овальных сечения шнура, лежащих виток к витку на тёмном прямоугольном основании; на втором сечении двусторонняя горизонтальная стрелка показывает его поперечный размер. — Рис. 1. Измерение сечения шнура методом рядов.

Второй, более удачный, способ измерения — метод определения сечения через силу Архимеда. Аналогично предыдущему пункту будем погружать в мерный цилиндр грузики, но уже вместе с растянутым шнуром. Изменение глубины погружения будет изменять объем погруженной в воду части шнура, тем самым изменяя силу Архимеда. Тогда, показания весов будут фиксировать изменение объема части шнура, погруженной в воду. Если снять график зависимости показаний весов от глубины погружения, то его угловой коэффициент и будет являться площадью сечения шнура. Глубину погружения удобно фиксировать по шкале мерного цилиндра. Введем коэффициент пересчета шкалы на мерном цилиндре в сантиметры. Для этого измерим длину шкалы цилиндра $H_{\mathrm{шк}} = 16.2$ см, соответствующую $V_{\mathrm{шк}} = 200$ мл. Тогда коэффициент пересчета составит:

\alpha = \frac{H_{\mathrm{шк}}}{V_{\mathrm{шк}}} = 0.081\ \frac{\mathrm{см}}{\mathrm{мл}} \qquad (2)

Ненагруженный шнур может не иметь большого прямого участка. Поэтому его для измерения длины его погруженной части удобно нанести на шнур сантиметровые отметки. Из сосудов для погружения удобнее выбрать стакан. В нем не задеть стенки концом шнура гораздо легче.

Важно отметить, что общий объем шнура не превышает нескольких миллилитров, что дает основания утверждать, что изменение силы Архимеда при погружении шнура в воду практически не меняет растягивающую его силу.

Измерим соответствующие зависимости показаний весов от длины погруженной в воду части шнура.

$l_0$ , см	$m_0$ , г	$V_1$ , мл	$l_1$ , см	$m_1$ , г	$V_2$ , мл	$l_2$ , см	$m_2$ , г
1.0	0.10	35.0	0.0	0.00	60.0	0.0	0.00
2.0	0.17	85.0	4.1	0.35	90.0	2.4	0.20
3.0	0.27	140.0	8.5	0.66	117.5	4.7	0.34
4.0	0.32	182.5	11.9	0.93	142.5	6.7	0.45
5.0	0.43				180.0	9.7	0.66
6.0	0.53

$V_3$ , мл	$l_3$ , см	$m_3$ , г	$V_4$ , мл	$l_4$ , см	$m_4$ , г	$V_5$ , мл	$l_5$ , см	$m_5$ , г
80.0	0.0	0.00	102.5	0.0	0.00	135.0	0.0	0.00
117.5	3.0	0.17	127.5	2.0	0.07	150.0	1.2	0.07
142.5	5.1	0.29	147.5	3.6	0.17	167.5	2.6	0.14
162.5	6.7	0.39	180.0	6.3	0.31	185.0	4.1	0.21
177.5	7.9	0.46	195.0	7.5	0.37	200.0	5.3	0.25
192.5	9.1	0.52

Построим графики полученных зависимостей.

График с заголовком «График зависимости m от l»: по горизонтали l, см от 0 до 14.0, по вертикали m, г от 0 до 1.0; шесть серий точек (красная, синяя, чёрная, жёлтая, коричневая, бирюзовая) с проведёнными через начало координат прямыми разного наклона.

Составим таблицу зависимости площади от силы, растягивающей шнур. Силу будем рассчитывать как разность силы тяжести грузиков и силы Архимеда, действующей на них:

F' = nmg\frac{\rho - \rho_0}{\rho} \qquad (3)

$n$	$F'$ , H	$s$ , см $^2$	$\frac{s}{s_0}$
0	0.00	0.0850	1.000
1	0.43	0.0768	0.904
2	0.86	0.0663	0.780
3	1.28	0.0578	0.680
4	1.71	0.0509	0.599
5	2.14	0.0479	0.564

Построим графики относительной длины и площади от нагрузки.

График с заголовком «График зависимости относительных геометрических размеров от F»: по горизонтали F, Н от 0 до 2.6, по вертикали «Относительные геометрические размеры» от 0.6 до 2.2; красные точки l/l0 с возрастающей кривой, синие точки s/s0 с убывающей кривой и коричневая кривая v/v0 без точек; легенда в правом верхнем углу.

Для определения зависимости относительного объема от растягивающей силы перемножим полученные в предыдущем упражнении графики.

Оригинал в Архива: 8_2_cord.pdf · официални решения: 8_2_cord.pdf · допълнителни данни: 9_2_cord.pdf