Съдържание

IOM 2018, Теория — Задача 1. Прогулка с собакой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOM 2018

Задача 1: «Прогулка с собакой» · 30 т.

Условие

Во время прогулки собака и ее хозяин на некоторое время остановились, причем поводок оставался слегка натянутым. Внезапно хозяин побежал по горизонтальной прямой дорожке с постоянной скоростью $V_0$ в направлении, перпендикулярном начальному положению поводка. Поводок длиной $l$ можно считать легким и практически нерастяжимым, и он так и остается слегка натянутым на протяжении всего «забега» хозяина с собакой. Собака всегда бежит в направлении вдоль поводка. Участок земли, по которому движется собака, тоже горизонтален. Считайте, что в момент начала движения хозяин находился в точке $O$ , являющейся началом прямоугольной декартовой системы координат $XOY$ , поводок лежал на оси $OY$ , а хозяин побежал вдоль оси $OX$ в ее положительном направлении.

Оси координат X и Y с началом O. Хозяин — точка на оси X, движущаяся со скоростью V⃗0 вдоль оси X; от него к собаке (точка с подписью dog) идет отрезок поводка длиной l. Красная дуга со стрелкой показывает начало траектории собаки от оси Y.

1) Найдите модуль и направление ускорения собаки $\vec{a}_0^{\text{соб}}$ в самом начале ее движения. Изобразите на рисунке оси $OX$ и $OY$ и покажите стрелкой направление этого ускорения. [1 т.]

2) Найдите модуль скорости $V_A^{\text{соб}}$ , а также модуль и направление ускорения собаки $\vec{a}_A^{\text{соб}}$ при прохождении ею точки $A$ , в которой поводок составляет с линией движения хозяина угол $\alpha = 45^{\circ}$ . Изобразите на рисунке оси $OX$ и $OY$ и покажите стрелкой направление ускорения собаки в точке $A$ . [3 т.]

3) Получите уравнение траектории собаки (явно, в виде $y = y(x)$ или $x = x(y)$ , либо в параметрическом виде). Сделайте примерный рисунок, изобразив траекторию с сохранением ее основных особенностей (относительно системы координат $XOY$ ). [6 т.]

Математическая подсказка: $\displaystyle\int\limits_x^{\pi/2} \frac{dy}{\sin y} = \ln\left[\mathrm{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)\right].$

4) Найдите закон движения собаки (то есть зависимость ее координат $x$ и $y$ от времени $t$ ). Получите и запишите зависимость модуля скорости собаки от времени $V^{\text{соб}}(t)$ . [8 т.]

5) Считая, что ускорение собаки создается только горизонтальной компонентой $F$ силы ее взаимодействия с землей, найдите зависимость $F(t)$ этой компоненты от времени. Небольшими «скачками» в этой зависимости (связанными с отсутствием непрерывности отталкивания собаки от земли) пренебречь. Масса собаки равна $m$ . [4 т.]

6) Каким будет закон движения собаки (зависимости $x$ от $t$ и $y$ от $t$ ) спустя время, значительно превышающее величину $\tau = \dfrac{l}{V_0}$ , если заданное в условии движение хозяина с собакой сохранится? [2 т.]

7) В момент времени, к которому собака уже пробежала расстояние, равное $l$ , за собакой из начальной точки ее движения полетела муха, двигаясь со скоростью, равной по модулю $V_0$ всегда, кроме очень малого времени разгона в самом начале полета. Муха летит в точности вдоль траектории собаки. На какое минимальное расстояние $r_{\min}$ сможет приблизиться муха к собаке за очень большое время? [4 т.]

8) Найдите модуль ускорения мухи $a_A^{\text{мух}}$ при прохождении ею точки $A$ . [2 т.]

Отговори

Решение

Возможное решение

Собака начинает движение из положения покоя в направлении против оси $OY$ . Хозяин движется по оси $OX$ , и его координата изменяется по закону $x(t) = V_0 t$ . Так как длина поводка неизменна, то для очень малых времен $t$ координата собаки зависит от времени по закону $y(t) = \sqrt{l^2 - V_0^2 t^2} \approx l - \dfrac{V_0^2 t^2}{2l}$ . Значит, начальное ускорение собаки направлено против оси $OY$ и равно по модулю $a_0^{\text{соб}} = V_0^2 / l$ (или проекция начального ускорения собаки на ось $OY$ равна $a_y(t) = -V_0^2 / l$ ).

Можно действовать и другим способом. Перейдем в систему отсчета, связанную с хозяином (движущуюся с постоянной скоростью $V_0$ вдоль оси $OX$ ). В этой системе отсчета мгновенная скорость собаки направлена перпендикулярно поводку (так как поводов натянут) и в начальный момент движения равна $V_0$ по модулю. Следовательно, ускорение собаки в этот момент имеет только составляющую вдоль поводка (она направлена противоположно оси $OY$ ), и эта составляющая равна по модулю $V_0^2 / l$ .

По условию задачи, вектор скорости собаки все время направлен вдоль поводка. Снова используем неизменность длины поводка, и заметим, что проекции скоростей собаки и хозяина на направление поводка должны совпадать. Отсюда следует, что в точке $A$ модуль скорости собаки $V_A^{\text{соб}} = V_0 \cos\alpha = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$ .

Заметим также, что проекция скорости собаки на ось $OY$ в этот момент $V_y = -V_0 \cos\alpha \sin\alpha = -\dfrac{V_0}{2}\sin 2\alpha$ , и ее величина как функция угла $\alpha$ достигает максимума как раз при $\alpha = 45^{\circ}$ . Поэтому при данном значении угла $\alpha$ проекция ускорения собаки на ось $OY$ равна нулю. Значит, искомое ускорение собаки направлено вдоль оси $OX$ .

Оси X и Y с началом O. Собака в точке A, поводок длиной l к хозяину на оси X образует с осью угол α. В точке A показаны векторы V⃗A^соб вдоль поводка, V⃗' перпендикулярно поводку (прямой угол), −V⃗0 горизонтально влево и a⃗n вдоль поводка к хозяину; у хозяина вектор V⃗0 вдоль оси X.

Для определения модуля ускорения перейдем в систему отсчета, связанную с хозяином (движущуюся с постоянной скоростью $V_0$ вдоль оси $OX$ ). В этой системе отсчета собака совершает неравномерное движение по окружности радиусом $l$ , и в рассматриваемый момент времени ее скорость $\vec{V}' = \vec{V}_A^{\text{соб}} - \vec{V}_0$ направлена перпендикулярно поводку и равна по модулю $\dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$ . Следовательно, центростремительное ускорение собаки равно $|\vec{a}_n| = \dfrac{V'^2}{l} = \dfrac{V_0^2}{2l}$ .

Полное ускорение, направленное в положительном направлении оси $OX$ , есть векторная сумма центростремительного и касательного ускорения. Это означает, что модуль ускорения собаки равен $a_A^{\text{соб}} = |\vec{a}_n| / \cos\alpha = |\vec{a}_n|\sqrt{2} = \dfrac{V_0^2}{l\sqrt{2}}$ . Итак: $\vec{a}_A^{\text{соб}} = \dfrac{V_0^2}{l\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_x$ .

Оси X и Y с началом O. Точка A, поводок длиной l к хозяину на оси X под углом α. Из точки A: a⃗τ перпендикулярно поводку вверх-вправо, a⃗n вдоль поводка, их сумма a⃗A^соб горизонтально вдоль оси X (пунктирный параллелограмм); у хозяина вектор V⃗0.

Легко найти $y$ -координату собаки в тот момент времени, когда поводок составляет угол $\alpha$ с осью $OX$ : $y(\alpha) = l \cdot \sin\alpha$ . С другой стороны, $\pi - \alpha$ – это угол наклона касательной к траектории собаки, то есть $\dfrac{dy}{dx} = -\mathrm{tg}\,\alpha \Rightarrow l\cos\alpha \dfrac{d\alpha}{dx} = -\mathrm{tg}\,\alpha$ . Следовательно, $dx = -l\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}d\alpha$ . Интегрируя это соотношение с учетом того, что $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ при $x = 0$ , находим: $x(\alpha) = l \cdot \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{\pi/2} \frac{\cos^2\beta}{\sin\beta}d\beta = l \cdot \left\{\ln\left[\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right] - \cos\alpha\right\}$ (здесь можно воспользоваться «математической подсказкой»). Итак, мы получили уравнение траектории в параметрическом виде (угол $\alpha$ выступает в качестве параметра). Выразив $\alpha$ через $y$ , можно найти и уравнение траектории в явном виде: $x(y) = l \cdot \ln\left(\dfrac{l + \sqrt{l^2 - y^2}}{y}\right) - \sqrt{l^2 - y^2}$ . Кривая, определяемая этим уравнением, называется трактрисой.

Изобразим эту траекторию (о ее виде можно догадаться и без вывода уравнения траектории – просто представив себе движение собаки):

Оси X и Y с началом O. Красная кривая (трактриса) начинается на оси Y с вертикальной касательной и монотонно убывает, выпуклостью вниз, асимптотически приближаясь к оси X.

Основные особенности:

вертикальная касательная в начальной точке;
асимптотическое стремление к оси $x$ ;
монотонное убывание с выпуклостью графика вниз.

Ясно, что $x + l\cos(\alpha) = l \cdot \ln\left[\mathrm{ctg}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\right] = V_0 t$ , так как это в точности координата хозяина в момент времени $t$ . Отсюда легко найти, что

\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \exp\left(\frac{V_0 t}{l}\right) \Rightarrow \cos\alpha = \mathrm{th}\left(\frac{V_0 t}{l}\right) \equiv \frac{e^{V_0 t/l} - e^{-V_0 t/l}}{e^{V_0 t/l} + e^{-V_0 t/l}}.

Таким образом, $x(t) = V_0 t - l \cdot \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ . С учетом того, что $\sin\alpha = \sqrt{1 - \mathrm{th}^2\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)} = \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ , находим также $y(t) = l \cdot \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ . Запись через гиперболические функции короче, но можно все записывать и через экспоненты. Дифференцируя эти выражения, находим, что $V_x(t) = V_0 \cdot \mathrm{th}^2\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ , $V_y(t) = V_0 \cdot \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right) \cdot \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ , и поэтому $V^{\text{соб}}(t) = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} = V_0 \cdot \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ .

Впрочем, модуль скорости можно найти и без дифференцирования: как мы видели в пункте 2, из условия неразрывности нити следует, что $V = V_0 \cos\alpha$ , откуда с учетом выражения для косинуса получаем тот же ответ.

После еще одного дифференцирования замечаем, что $a_x(t) = 2\dfrac{V_0^2}{l} \cdot \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)\mathrm{ch}^{-2}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ , $a_y(t) = \dfrac{V_0^2}{l} \cdot \left[1 - 2\,\mathrm{th}^2\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)\right]\mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ . Поэтому $a(t) = \dfrac{V_0^2}{l} \cdot \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ . Так как по условию это ускорение создается искомой горизонтальной компонентой силы взаимодействия собаки с землей (сила натяжения поводка пренебрежимо мала), то $F(t) = ma(t) = \dfrac{mV_0^2}{l} \cdot \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ .
Ответ на этот вопрос очевиден и без вычислений: спустя такое большое время собака будет двигаться практически по оси $x$ , и поэтому: $x(t) \approx V_0 t - l$ при $t \gg \dfrac{l}{V_0}$ , а $y(t) \approx 0$ .
Пренебрегая «очень малым» временем разгона мухи, находим, что разность модулей скоростей мухи и собаки $V_0 - V(t) = V_0 \cdot \left[1 - \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)\right]$ . Таким образом, муха за очень большое время приблизится к собаке вдоль траектории на расстояние

s = \int\limits_{t_0}^{\infty} [V_0 - V(t)]dt = l \cdot \int\limits_{z_0}^{\infty} [1 - \mathrm{th}(z)]dz = 2l \cdot \int\limits_{z_0}^{\infty} \frac{e^{-z}}{e^z + e^{-z}}dz = l \cdot \int\limits_{0}^{\exp(-2z_0)} \frac{dy}{1 + y} = l \cdot \ln\left(1 + e^{-2z_0}\right)

(здесь $t_0$ – время начала движения мухи, $z_0 = V_0 t_0 / l$ , и при вычислении интеграла сделана замена переменной $y = e^{-2z}$ ). Согласно условию, $l = \displaystyle\int\limits_0^{t_0} V(t)dt$ , то есть $1 = \displaystyle\int\limits_0^{z_0} \mathrm{th}\,z\,dz = \ln(\mathrm{ch}\,z_0)$ . Значит, $z_0 = \mathrm{arcch}\,e$ . После преобразования гиперболических функций получим: $e^{-2z_0} = \left(e - \sqrt{e^2 - 1}\right)^2$ , то есть $s = l \cdot \ln\left(1 + \left(e - \sqrt{e^2 - 1}\right)^2\right)$ .

Поэтому минимальное расстояние между мухой и собакой через очень большое время (когда хозяин, собака и муха движутся друг за другом по оси $x$ ) равно

r_{\min} = l - s = l\left[1 - \ln\left(1 + \left(e - \sqrt{e^2 - 1}\right)^2\right)\right] \approx 0{,}964l.

Из пункта 2 нам известны модуль скорости собаки в точке $A$ : $V = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$ и центростремительная компонента ее ускорения в этой точке $|\vec{a}_n| = \dfrac{V_0^2}{2l}$ . Значит, радиус кривизны траектории собаки в точке $A$ равен $R_A == \dfrac{V^2}{|\vec{a}_n|} = l$ , и поэтому модуль ускорения мухи в точке $A$ равен $a_A^{\text{мух}} = \dfrac{V_0^2}{l}$ .

Критерии оценивания (Задача 1)

№	ОТВЕТ	Максимальный балл
1	Ускорение направлено к хозяину, против оси $OY$ , и равно по модулю $a_0^{\text{соб}} = V_0^2 / l$ .	1
2	Модуль скорости собаки в точке $A$ равен $V_A^{\text{соб}} = V_0 \cos\alpha = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$ .	1
	Ускорение собаки в точке $A$ направлено вдоль оси $OX$ и равно $\vec{a}_A^{\text{соб}} = \dfrac{V_0^2}{l\sqrt{2}} \cdot \vec{e}_x$ .	2
3	Уравнение траектории собаки в параметрической форме $x(\alpha) = l \cdot \left\{\ln\left[\mathrm{ctg}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\right] - \cos\alpha\right\}$ и $y(\alpha) = l \cdot \sin\alpha$ , или в явном виде $x(y) = l \cdot \ln\left(\dfrac{l + \sqrt{l^2 - y^2}}{y}\right) - \sqrt{l^2 - y^2}$ .	5 (для параметрической формы: 3 за x и 2 за y)
	Вид траектории собаки:	1
4	Закон движения собаки: $x(t) = V_0 t - l \cdot \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ , $y(t) = l \cdot \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ .	5 = 3 за x и 2 за y
	Зависимость модуля скорости собаки от времени: $V^{\text{соб}}(t) = V_0 \cdot \mathrm{th}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ .	3
5	Зависимость от времени горизонтальной компоненты силы взаимодействия собаки с землей: $F(t) = \dfrac{mV_0^2}{l} \cdot \mathrm{ch}^{-1}\left(\dfrac{V_0 t}{l}\right)$ .	4
6	Закон движения собаки спустя очень большое время (при $t \gg \dfrac{l}{V_0}$ ): $x(t) \approx V_0 t - l$ , $y(t) \approx 0$ .	2
7	Минимальное расстояние между мухой и собакой через очень большое время: $r_{\min} = l\left[1 - \ln\left(1 + \left(e - \sqrt{e^2 - 1}\right)^2\right)\right] \approx 0{,}964l$ .	4 (если ошибка только в вычислении интеграла – 2)
8	Модуль ускорения мухи в точке $A$ равен $a_A^{\text{мух}} = \dfrac{V_0^2}{l}$ .	2
ВСЕГО		30

Вид траектории собаки в таблице критериев: оси X и Y с началом O, красная кривая (трактриса) от оси Y, убывающая к оси X.

Оригинал в Архива: 1-ru.pdf · официални решения: theory-criteria-ru.pdf