Съдържание

IZhO 2013, Експеримент — Задача 1. Рекламные трюки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IZhO 2013

IX Международная Жаутыковская Олимпиада/Экспериментальный тур · 16 януари 2013 г. · 15 т.

Сначала, пожалуйста, прочитайте следующее:

Экспериментальный тур состоит из одной задачи. Продолжительность тура 3 часа.
Пользуйтесь только той ручкой, которая Вам предоставлена.
Для расчетов Вы можете использовать свой непрограммируемый калькулятор. Если своего у вас нет, тогда Вы можете попросить его у организаторов олимпиады.
Вам предоставлены чистые листы бумаги и Листы для записи (Writing sheets). Чистые листы бумаги предназначены для черновых записей, их Вы можете использовать по Вашему усмотрению, они не проверяются. На Writing sheets следует записывать решения задач, которые будут оценены при проверке работы. В решениях как можно меньше используйте словесные описания. В основном Вы должны использовать уравнения, числа, буквенные обозначения, рисунки и графики.
Используйте только лицевую сторону Writing sheets. При записи не выходите за пределы отмеченной рамки.
На каждом использованном Writing sheets, в отведенных для этого графах, необходимо указать Вашу страну (Country), Ваш код (Student Code), текущий номер каждого листа (Page Number) и полное количество листов, использованных при решении всех задач (Total Number of Pages). Если Вы не хотите, чтобы какие-нибудь использованные Writing sheets были включены в ответ, тогда перечеркните их большим крестом на весь лист и не включайте их в Ваш подсчёт полного количества листов.
Когда Вы закончите тур, разложите все листы в следующем порядке:
- Пронумерованные по порядку Writing sheets;
- Черновые листы;
- Неиспользованные листы;
- Отпечатанные условия задачи
Положите все листы бумаги в конверт и оставьте на столе. Вам не разрешается выносить из аудитории любые листы бумаги, приборы, материалы и принадлежности.

Условие

Оборудование: Лазер, штатив с зажимом, собирающая линза на подставке, картонный экран, миллиметровая бумага, две направляющие линейки, измерительная линейка, пластинка с тремя оптическими элементами:

Зеркало Френеля (квадратный кусок фольги с нанесенными кольцами);
блестящая отражающая полоска;
пластиковый преломляющий элемент (оранжевый кусочек, закрывающий отверстие).

Схема пластинки с тремя оптическими элементами: слева квадрат с градиентной заливкой (1 — зеркало Френеля), в середине вертикальная полоска (2 — блестящая полоска), справа маленький квадрат с кружком (3 — пластиковый преломляющий элемент); номера 1, 2, 3 даны в выносках.

Включайте лазер только во время проведения измерений!

Длина волны излучения лазера $\lambda = 680\,\text{нм}$ .

Часть 1. Линза

В данной части задачи углы отклонения луча от оптической оси считать малыми.

Расположите линзу на подставке между направляющими линейками так, чтобы она могла смещаться параллельно самой себе. Лазер закрепите в лапке штатива. На лазере закрепите картонный экран. Направьте луч лазера в центр линзы, так, чтобы отраженный луч был виден на экране и отражался приблизительно в обратном направлении. При смещении линзы вдоль направляющих отраженное пятно перемещается по экрану. Пятно получается размытым, поэтому при измерениях находите середину этого пятна.

Схема измерения отражения: слева вертикальный экран, справа заштрихованная поверхность линзы с подписью «Линза»; горизонтальный луч идет к линзе на высоте x над осью и отражается обратно на экран со смещением Δx; расстояние от экрана до линзы обозначено L.

1.1 Для обеих поверхностей линзы измерьте зависимость смещения отраженного луча на экране $\Delta x$ от смещения линзы $x$ . Постройте графики полученных зависимостей.

1.2 Используя полученные данные, определите радиусы кривизны $R_1$ и $R_2$ обеих поверхностей линзы.

1.3 Расположите экран на некотором расстоянии $L$ за линзой. Измерьте зависимость смещения $\Delta x$ преломленного луча на экране от смещения линзы $x$ . Постройте график полученной зависимости.

Схема преломления: горизонтальный луч, смещенный на x от оси, проходит через собирающую линзу (вертикальная стрелка) и попадает на экран справа со смещением Δx; расстояние от линзы до экрана обозначено L.

1.4. Используя полученные экспериментальные данные, определите фокусное расстояние линзы $F$ .

1.5 Рассчитайте показатель преломления материала линзы $n$ . Оцените погрешность измерения показателя преломления.

Подсказка: Вы можете использовать следующую формулу для фокусного расстояния $F$ собирающей линзы

\frac{1}{F} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right).

В дальнейших частях задачи вычисление погрешностей не требуется!

Часть 2. Зеркало Френеля

Прикрепите с помощью куска пластилина пластиковую полоску с оптическими элементами на линзу, то есть используйте линзу лишь как подставку.

Расположите полученное устройство между направляющими так, чтобы луч лазера попадал на зеркало Френеля 1. Лазер с экраном расположите на расстоянии 15-20 см от зеркала. Тщательно отъюстируйте установку, так чтобы при смещении зеркала луч лазера двигался вдоль диаметра зеркала. На экране должно наблюдаться размытое отраженное пятно, которое при смещении зеркала должно двигаться практически горизонтально и на уровне выходящего из лазера луча.

Зеркало Френеля представляет собой систему концентрических колец, радиусы которых зависят он номера $k$ , отсчитываемого от центра, по закону

r_k = r_0 k^{\gamma} \qquad (1)

В этой части работы углы отклонения нельзя считать малыми.

2.1 Измерьте зависимость смещения середины отраженного пятна $\Delta x_1$ от смещения зеркала $x$ . Постройте график зависимости синуса угла отражения от смещения зеркала.

2.2 Оцените показать степени $\gamma$ в формуле (1).

Часть 3. Блестящая полоска

Направьте луч лазера на блестящую полоску 2. На экране можно увидеть несколько отраженных лучей.

3.1 Предложите такую структуру отражающей полоски, чтобы она объясняла наблюдаемую картину отраженных лучей. Определите численные значения параметров этой структуры.

Часть 4. Пластиковый преломляющий элемент

Направьте луч лазера на отверстие, закрытое пластиковым оранжевым элементом. Этот элемент имеет объемную структуру. За этим элементом расположите экран, на котором в проходящем свете можно увидеть ряд ярких пятен.

4.1 Предложите такую структуру этого оптического элемента, которая бы объясняла наблюдаемую картину прошедших лучей.

4.2 Оцените показатель преломления материала, из которого изготовлен этот оптический элемент.

Отговори

Решение

Часть 1. Линза

1.1-1.2 На рисунке показан ход луча $ABC$ , отраженного от поверхности линзы. Из рисунка следует, что отраженный луч идет под углом $2\alpha$ к оси линзы, где

Ход луча ABC при отражении от сферической поверхности линзы: слева экран с точками C и A (смещение Δx между ними), горизонтальный отрезок AB длиной L, точка B на поверхности линзы на высоте x над осью (штрихпунктир), радиус R от B к центру кривизны O, угол α при O и угол 2α между лучами при B.

\alpha = \frac{x}{R}, \qquad (1)

$R$ - радиус кривизны поверхности, $O$ - центр кривизны. Следовательно, смещение отраженного луча на экране определяется формулой

\Delta x = 2\alpha L = \frac{2L}{R}x. \qquad (2)

Таким образом, по коэффициенту наклона графика зависимости смещения луча $\Delta x$ от смещения линзы $x$ можно определить радиус кривизны поверхности. Для определения коэффициента наклона нет необходимости точно определять положение центра поверхности - начало отсчета $x$ можно выбирать произвольно.

В Таблице 1 приведены результаты измерений смещения луча для двух поверхностей линзы. Измерения проведены для $L = 22\,\text{см}$ Рядом показаны графики полученных зависимостей.

График зависимости Δx, см от x, см для двух сторон линзы: две параллельные прямые с экспериментальными точками (ромбы и кружки); ось x от 20,0 до 24,0, ось Δx от -10,0 до 10,0.

Таблица 1

Сторона 1		Сторона 2
$x$ , см	$\Delta x$ , см	$x$ , см	$\Delta x$ , см
23,5	9,5	23,0	9,0
23,2	7,3	22,7	6,5
23,0	6,0	22,5	5,0
22,7	4,3	22,2	3,5
22,5	2,5	22,0	2,0
22,2	0,7	21,7	0,3
21,9	-0,7	21,5	-1,0
21,6	-3,0	21,2	-2,5
21,2	-5,5	21,0	-4,5
21,0	-7,0	20,7	-6,0
20,7	-9,0	20,5	-7,5

Коэффициенты наклона зависимостей предпочтительнее рассчитывать по методу наименьших квадратов. Радиусы кривизны рассчитываются по формуле, следующей из выражения (2):

K = \frac{2L}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{2L}{K}. \qquad (3)

Расчеты приводят к следующим значениям:

Для первой стороны $K_1 = 6{,}51 \pm 0{,}14$ ; $R_1 = (6{,}76 \pm 0{,}14)\,\text{см}$

Для второй стороны $K_2 = 6{,}4 \pm 0{,}2$ ; $R_2 = (6{,}9 \pm 0{,}2)\,\text{см}$

1.3-1.4 На рисунке показан ход луча после преломления в линзе. Из подобия треугольников следует пропорция $\frac{x}{F} = \frac{\Delta x}{L}$ . Поэтому зависимость смещения луча от смещения линзы имеет вид

\Delta x = \frac{L}{F}x. \qquad (4)

Ход луча после преломления в линзе: горизонтальный луч на высоте x над оптической осью проходит через собирающую линзу (двусторонняя вертикальная стрелка) и попадает на экран справа со смещением Δx; обозначены расстояние L до экрана и фокусное расстояние F.

В Таблице 2 приведены результаты измерений, проведенных для $L = 15\,\text{см}$ . График этой зависимости показан на рисунке.

График зависимости Δx, см от x, см для преломленного луча: прямая через экспериментальные точки; ось x от 17,5 до 21,5, ось Δx от -5 до 3.

Таблица 2

$x$ , см	$\Delta x$ , см
21,0	2,0
20,5	0,8
20,0	-0,3
19,5	-1,3
19,0	-2,0
18,5	-3,3
18,0	-4,2

Коэффициент наклона этой зависимости, рассчитанный по МНК равен $K_3 = 2{,}03 \pm 0{,}10$ . Соответственно, фокусное расстояние линзы

F = \frac{L}{K_3} = (7{,}4 \pm 0{,}4)\,\text{см}. \qquad (5)

1.5 Из формулы для фокусного расстояния следует, что показатель преломления линзы можно рассчитать по формуле

n = 1 + \frac{\frac{1}{F}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = 1 + \frac{\frac{1}{7{,}4}}{\frac{1}{6{,}76} + \frac{1}{6{,}9}} \approx 1{,}5.

Погрешность определения оказывается равной $\Delta n \approx 0{,}2$ .

Часть 2. Зеркало Френеля

Зеркало Френеля можно рассматривать как дифракционную решетку с переменным периодом. Если радиусы колец зависят от номера $k$ по закону

r_k = r_0 k^{\gamma}, \qquad (6)

то при больших $k$ расстояния между кольцами находятся по формуле

\Delta r = r_0\left((k+1)^{\gamma} - k^{\gamma}\right) = r_0 k^{\gamma}\left(\left(1 + \frac{1}{k}\right)^{\gamma} - 1\right) \approx \gamma r_0 k^{\gamma - 1}. \qquad (7)

Эта же величина может рассматриваться как период решетки $d$ . Для обработки экспериментальных данных ее необходимо выразить через расстояние до центра зеркала. Из формулы (6) можно выразить

k = \left(\frac{r}{r_0}\right)^{\frac{1}{\gamma}}. \qquad (8)

Поэтому период решетки изменятся в зависимости расстояния по закону

d = \gamma r_0 \left(\frac{r}{r_0}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}. \qquad (9)

Экспериментально эту зависимость можно получить, используя формулу дифракционной решетки

d \sin\varphi = \lambda. \qquad (10)

Из этой формулы следует, что синус угла отклонения зависит от смещения зеркала $r$ по закону:

\sin\varphi = \frac{\lambda}{d} = C r^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}. \qquad (11)

Экспериментально можно измерить зависимость смещение отраженного луча $\Delta x$ от расстояния $r$ от точки падения луча до центра зеркала. Так как углы отклонения в данном случае нельзя считать малыми, то синус угла отклонения $\varphi$ следует рассчитать по формуле

Схема отражения от зеркала Френеля: слева экран, справа зеркало; луч падает на зеркало на расстоянии r от оси (штрихпунктир) и отражается на экран под углом φ, смещение на экране Δx, расстояние между экраном и зеркалом L.

\sin\varphi = \frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^2 + L^2}}. \qquad (12)

В таблице 3 Приведены результаты измерений зависимости смещения луча $\Delta x$ от расстояния $r$ , там же приведены рассчитанные значения синуса угла отклонения. Рядом приведен график зависимости синуса угла отклонения от расстояния $r$ .

График зависимости sin φ от r, см: прямая через экспериментальные точки, проходящая почти через начало координат; ось r от -0,6 до 0,7, ось sin φ от -0,6 до 0,6.

Таблица 3

$r$ , см	$\Delta x$ , см	$\sin\varphi$
0,7	11,0	0,497
0,6	10,0	0,463
0,5	8,5	0,406
0,4	6,0	0,297
0,3	5,0	0,253
0,2	4,0	0,207
0,1	3,0	0,159
-0,2	-2,5	-0,127
-0,3	-4,0	-0,201
-0,4	-6,5	-0,321
-0,5	-8,0	-0,385

Так как полученная зависимость близка к линейной, то в соответствии с общей формулой (11) искомый показатель равен $\gamma = 0{,}5$ .

Часть 3. Блестящая полоска

В отраженном свете видны, по крайней мере, пять отраженных лучей: одно центральное и четыре в вершинах квадрата. Такая картина может быть объяснена дифракцией на двумерной решетке. По результатам измерений угол дифракции примерно равен $45^{\circ}$ градусам. Следовательно период решетки равен

d = \frac{\lambda}{\sin 45^{\circ}} = \frac{680\cdot 10^{-9}\ \text{м}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 9{,}6\cdot 10^{-7}\ \text{м}.

Часть 4. Пластиковый прозрачный элемент

При прохождении света через пластиковую полоску на экране наблюдается шесть пятен, расположенных в вершинах правильного шестиугольника. Такая картина объясняется преломлением света на гранях правильных треугольных пирамид. Основания пирамид полностью заполняют плоскость, образуя гексагональную структуру.

Правильный шестиугольник, разбитый на треугольники: вид сверху на гексагональную структуру из правильных треугольных пирамид, грани закрашены разными оттенками серого.

Если экран расположен на расстоянии $L = 6{,}5\,\text{см}$ , то длина стороны шестиугольника равна $a = 4{,}5\,\text{см}$ . Такое же расстояние и от центра правильного шестиугольника. Эти данные позволяют рассчитать синус угла отклонения лучей

\sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + L^2}} = 0{,}57.

В задаче теоретического тура была получена формула для этого угла

\sin\gamma = \sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{n^2 - \frac{2}{3}} - \frac{\sqrt{2}}{3},

с помощью которой можно вычислить показатель преломления $n = 1{,}51$ .

Схема оценивания

	Часть 1. Линза	(6)
1.1	Измерения:
	- указано $L$ ;	0,2
	- 7 и более точек;	0,7x2
	- (4-6 точек);	(0,3x2)
	- (меньше 4 точек);	0
	Графики зависимостей:
	- оси подписаны и оцифрованы;	0,1
	- нанесены все экспериментальные точки;	0,1x2
	- проведены сглаживающие прямые;	0,1x2
1.2	Расчет радиусов кривизны:
	-вид зависимости (2);	0,1
	- формула (3);	0,1
	- рассчитаны коэффициенты наклона:
	- по МНК;	0,3x2
	- (графически);	(0,2x2)
	- (по двум точкам);	(0,1x2)
	Расчет радиусов кривизны:
	- в диапазоне 6,5 -7,5 см;	0,2x2
	- (в диапазоне 5-9 см);	(0,1x2)
	- (вне диапазона 5-9 см);	(0x2)
1.3	Измерения:
	- указано $L$ ;	0,2
	- 5 и более точек;	0,5
	- (3-4 точки);	(0,3)
	- (менее 3 точек);	(0)
	График зависимости:
	- оси подписаны и оцифрованы;	0,1
	- нанесены все экспериментальные точки;	0,1
	- проведены сглаживающие прямые;	0,1
1.4	Измерение фокусного расстояния:
	- формула (4);	0,2
	рассчитан коэффициент наклона:
	- по МНК;	0,3
	- (графически);	(0,2)
	- (по двум точкам);	(0,1)
	Расчет фокусного расстояния:
	- в диапазоне 7 -8 см;	0,4
	- (в диапазоне 6-9 см);	(0,2)
	- (вне диапазона 6-9 см);	(0)
1.5	Расчет показателя преломления:
	- расчетная формула;	0,1
	- численное значение в диапазоне 1,45-1,55;	0,5
	- (в диапазоне 1,35 – 1,65);	(0,2)
	- (вне диапазона 1,35 - 1,65);	(0)
	- оценка погрешности;	0,2

	Часть 2. Зеркало Френеля.	(4)
2.1	Измерения:
	- указано $L$ ;	0,2
	- 7 и более точек;	0,8
	- (4-6 точек);	(0,4)
	- (меньше 4 точек);	(0)
	Формула для синуса угла;	0,1
	Рассчитаны значения синусов;	0,2
	Получена примерно линейная зависимость;	0,5
	График:
	- оси подписаны и оцифрованы;	0,1
	- нанесены все экспериментальные точки;	0,1
	- проведена сглаживающая прямая;	0,1
	Методика определения $\gamma$ :
	- идея о дифракционной решетке;	0,3
	- зависимость периода от расстояния до центра (9);	0,4
	- зависимость синуса угла отклонения от расстояния до центра (11);	0,4
	Получено значение $\gamma$ :
	- по линейной зависимости синуса угла;	0,3
	- иным разумным способом;	(0,2)
	$\gamma = \frac{1}{2}$ ;	0,5
	- в диапазоне 0,3-0,7;	(0,2)
	- вне диапазона 0,3 – 0,7;	(0)
Часть 3. Блестящая полоска.		2
	- получено более 5 пятен на экране;	0,4
	- (получено 5 пятен на экране);	(0,3)
	- (получено 3 пятна на экране);	(0,2)
	Структура дифракционная решетка:
	- двумерная;	0,5
	- (одномерная);	(0,3)
	Измерен угол отклонения лучей;	0,4
	Формула для расчета периода решетки;	0,2
	Рассчитан период решетки (1 мкм);
	- в диапазоне погрешности менее 10%;	0,5
	- (в диапазоне 30%);	(0,2)
	- (вне диапазона 30%);	(0)
Часть 4. Пластиковый прозрачный элемент.		3
	- получено 6 пятен на экране;	0,5
	Структура - призмы;	0,5
	Заполнение плоскости (гексагональная структура);	0,5
	Формула для расчета показателя преломления;	0,5
	Измерен угол отклонения лучей;	0,5
	Численное значение показателя преломления:
	- численное значение в диапазоне 1,45-1,55;	0,5
	- (в диапазоне 1,35 – 1,65);	(0,3)
	- (вне диапазона 1,35 - 1,65);	(0)

Оригинал в Архива: IZhO-2013-Exp_rus.pdf · официални решения: IZhO-2013-Exp_rus_sol.pdf