Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 107. ДОПЪЛНИТЕЛНИ ЗАДАЧИ, Конфигурации и видимост на планетите, 4.27

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

ЧАСТ 1

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

7 клас

Част 6. Астрономически тест

Част 6.

Астрономически тест

Във всеки от въпросите трябва да подредите четирите обекта А,В,С и D по реда на нарастване на параметъра, указан в условието.

Условие

Какъв трябва да е ексцентриситетът на орбитата на Марс, така че по време на неговите велики противостоения планетата да не описва примка сред звездите на земното небе? Какъв би бил блясъкът на Марс по време на такива противостоения? Какво по яркост светило би бил Марс тогава на земното небе? Голямата полуос на орбитата на Марс е 1,524а.е., а на Земята приемете орбитата за кръгова.

Отговори

Решение

Близо до противостоене (когато скоростта ѝ и скоростта на Земята са почти в едно направление), външна планета започва да се движи сред звездите в обратна посока, от изток на запад, за сметка на това, че скоростта ѝ по модул е по-малка от скоростта на Земята. Но, ако орбитата на Марс беше по изтеглена, отколкото е в действителност, то орбиталната му скорост в перихелий би могла да стане по-голяма от орбиталната скорост на Земята. И ако в този момент планетата марс се окаже в противостоене (разбира се велико), то не би описвала примка сред звездите, а би продължила да се движи в права посока.

Нека a е голямата полуос на Марс, а e – неговия ексцентриситет. Тогава перихелийното и афелийно разстояние на Марс ще е:

R_{P}=a(1-e)\ ;\qquad R_{A}=a(1+e)\ ,

и за тези две точки от орбитата можем да запишем закон за запазване на момента на импулса и енергията: $R_{A}v_{A}=R_{P}v_{P}\ ;$

\frac{v_{A}^{2}}{2}-\frac{GM}{R_{A}}=\frac{v_{P}^{2}}{2}-\frac{GM}{R_{P}}\ .

Тук $v_{P}$ и $v_{A}$ са перихелийна и афелийна скорост на Марс, насочени по допирателна към неговата орбита. Решавайки уравненията, можем да получим за скоростите на Марс в перихелий и прибавяйки я към орбиталната скорост на Земята, приемайки орбитата ѝ за кръгова:

v_{P}^{2}=\frac{GM}{a}\cdot\frac{1+e}{1-e}=\frac{GM}{a_{0}}\ .

Тук $a_{0}$ е радиус на земната орбита. От последното уравнение получаваме ексцентриситета на орбитата на Марс:

e=\frac{a-a_{0}}{a+a_{0}}=0{,}207\ .

При такова и при по-голямо значение на ексцентриситета Марс не би описвал примка сред звездите на земното небе по време на велики противостояния. Не е трудно да се пресметне,че в това време Марс би се намирал на разстояние до Земята:

d=a_{0}\frac{a-a_{0}}{a+a_{0}}=0{,}207\,a.e.

Знаейки, че по време на велики противостояния Марс може да се приближи до Земята на разстояние $d_{0}$ , равно на -0,372 а.е. и неговият блясък при това достига $-2{,}9^{m}$ , ще определим блясъка на Марс на нашето хипотетично противостоене, отново считайки за простота земната орбита за кръгова:

m=-2{,}9+5\lg\frac{d(d+a_{0})}{d_{0}(d_{0}+a_{0})}=-4{,}5^{m}\ .

Излиза, че ярко-червеният Марс на земното небе в това време отстъпва по яркост само на Слънцето и Луната, а Венера може да надвишава неговия блясък, само когато се намира до точката на своята максимална яркост. Това би било наистина велико противостоене!

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Част 1.

57-ма Московска астрономическа олимпиада (2003г.)

7 клас

Част 2. 58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

Част 2

58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

I ТУР

7 клас

Част 3. 59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 3.

59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

I тур

7 клас

Част 4. Допълнителни задачи

Част 4

Допълнителни задачи

Видимо движение на небесните тела

Решение 4.25 (без отпечатано условие)

4.25. Ако пренебрегнем наклона на орбитата на Венера към еклиптиката (което можем в повечето случаи да правим за всички конфигурации на тази планета, с изключение на долно съединение), то в деня на най-голяма източна елонгация Венера трябва да е на еклиптиката на $47^{0}$ от Слънцето, т.е. изпреварвайки във видимото движение с половин месец. Получава се , че Венера ще се окаже близо до точката на лятното слънцестоене, и нейната долна кулминация в точка север ще е на северния полярен кръг (ширина $66{,}5^{0}$ ). Звездното време в този момент ще е 18 часа, и еклиптиката ще съвпада с хоризонта. Слънцето, намиращо се на еклиптиката, надясно на $47^{0}$ от Венера (при наблюдение от северното полукълбо), ще изгрява над хоризонта от северо-изток.

Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 5.

Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 6. Астрономически тест - Отговори

Част 6

Астрономически тест - Отговори:

Препоръки при оценяване на теста

Препоръки при оценяване на теста:

Тестът може да се оценява по количеството правили отговори ( от 0 до 25), но може да се използва и по-сложен и обективен метод. Всеки правилен отговор в този случай се оценява с 8 точки, а за неправилен отговор се отнемат точки (6-N), където N e броя на единични размествания, необходими за получаване на правилен отговор. Под единично разместване се разбира промяната на местата на две съседни букви, за неточен отговор се отнемат от 0 точки (ако всички букви са написани в обратен ред) до 5 точки (сгрешени само две съседни букви). В случай на правилен отговор (N=0) участникът се награждава с две допълнителни точки, и оценката, както казахме е 8. максималната оценка за целия тест е 200 точки.

Пример: Правилен отговор – D, C, A, B, а участникът е дал отговор A, C, D, B. За получаване на правилен отговор трябват три единични премествания :

А, C, D, B – C, A, D, B – C, D, A, B – D, C, A, B.

Тогава, за дадения отговор трябва да извадим 3 точки. Подобна методика е сложна за ръчна проверка, но достатъчно лека за реализиране във вид на компютърна програма.

Част 7. Задачи от първите Московски астрономически олимпиади, 1 олимпиада (1947 г.), I тур

Част 7

Задачи от първите Московски астрономически олимпиади

1 олимпиада (1947 г.), I тур

Оригинал в Архива: 2003-2005.pdf