МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 122. ДОПЪЛНИТЕЛНИ ЗАДАЧИ, Двойни променливи звезди, 4.42

Частичната фаза на затъмнение на една звезда от друга продължава два пъти повече от пълната, когато едната звезда изцяло минава зад другата или се намира пред нея. Земята се намира в плоскостта на орбитата на звездите, следователно, радиусите им се отнасят както 3/2. За по-нататъшно решение ни е необходимо да направим отклонение в областта на физиката на белите джуджета. Те се състоят от изроден газ, налягането на които р не зависи от температурата и в нерелативисткия случай е свързано с плътността ρ със съотношението:

Където K е някаква размерна константа. Израждането води до това, че в случай на невъртящи се бели джуджета техният радиус R е свързан еднозначно с масата $M_{\text{¿}}$ . Точното извеждане на това съотношение е твърде сложно, затова ще го получим по метода на размерностите. В израза за радиуса на бялото джудже трябва да влиза масата и две размерни константи – K и гравитационната G. Този израз ще има вида: $R=CK^{x}G^{y}M_{\text{¿}}^{z}$

Където C е безразмерна константа. Размерността на някоя величина F ще означаваме с $[F]$ , тя ще е произведение от дължина L, време T и маса M на някакви степени. Размерностите на четирите величини, влизащи във формулата записана по-горе, са равни:

Разпределяйки връзката на радиуса и масата на бялото джудже по размерния базис, получаваме система от уравнения спрямо степенните показатели x,y,z:

Решавайки тази система, получаваме x = 1, y = -1, z = -1/3. И така: радиусът на бялото джудже е пропорционален на масата на степен -1/3, т.е. намалява с увеличаване на масата.

Да си спомним, че в нашата двойна система първата звезда е 1,5 пъти по-голяма от втората. При равенство на ефективните температури именно първата звезда ще е по-ярка от втората, макар нейната маса да е само $(3/2)^{-3}$ = 8/27 от масата на втората. Затъмненията се случват през точно определени равни интервали от време и протичат еднакво, независимо от това, коя от звездите се затъмнява. От това можем да направим извод, че орбитите на звездите са кръгови. Скоростите на звездите са насочени в противоположни посоки, при това скоростта на по-ярката звезда е 27/8 от скоростта на втората, по-тежка звезда, и 27/35 от относителната скорост на звездите, която се получава равна на 50км/сек.

Диаметърът на по-малката от звездите е равен на относителната скорост на звездите, умножена на продължителността на частичната фаза на затъмнението, което е 16000км. Диаметърът на по-голямата звезда е 1,5 пъти по-голям, т.е. 24000км. Радиусите на звездите са 8000км и 12000км и съвсем малко надвишават радиуса на Земята.

Периодът на въртене $T_{0}$ в тази система е равен на удвоения интервал от време между затъмненията, т.е. 102,28 денонощия. Разстоянието между звездите D е: $D=\frac{vT_{0}}{2\pi}$ ,

Което е равно на 70,32 млн.км. Изразявайки периода $T_{0}$ в години (7/25), а разстоянието D в астрономически единици (7/25 а.е.), по обобщения III закон на Кеплер получаваме сумата от масите на звездите, изразени в слънчеви маси:

Накрая, масата на по-голямата и по-лека звезда се получава равна на 8/27 слънчеви маси, а по-тежката и по-малка – 1 слънчева маса.