Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 60. ЧАСТ 3. 59 МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2005г.), I ТУР, 8-9 клас, 3.6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

ЧАСТ 1

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

7 клас

Част 6. Астрономически тест

Част 6.

Астрономически тест

Във всеки от въпросите трябва да подредите четирите обекта А,В,С и D по реда на нарастване на параметъра, указан в условието.

Условие

Изкуствен спътник на Земята има маса 100кг и се върти около нея по кръгова орбита с радиус, равен на средното разстояние Луна-Земя. Спътникът се състои от две еднакви части, съединени с шина. По команда от Земята в шината сработва импулсен двигател, разделящ двете части. Каква енергия е необходима, за да може след такава маневра едната част да отлети от околностите на Земята? двете части на спътника? Каква посока на импулса е по-изгодна енергетично в първия или във втория случай?

Отговори

Решение

По III закон на Нютон в резултат на работата на двигателя в съединителната муфа на двете еднакви части на спътника получават нарастване на скоростта, равни по големина, но противоположни по посока. Ако ние имаме задачата да изведем от гравитационното поле на Земята само едната част, то можем да използваме въртенето на частта около Земята, като ѝ предадем допълнителна скорост в същото направление (лявата рисунка).

Две рисунки. Лява: кръгова орбита около „Земя“; в горната ѝ точка спътникът (два квадрата) се разделя — част 1 излиза наляво по разтворена траектория, част 2 преминава на елипса вътре в орбитата. Дясна: кръг около „Земя“; в горната точка двете части получават скорости нагоре и надолу (перпендикулярно на орбитата) и се отделят по траектории 1 и 2.

Така спътникът ще премине на елиптична орбита.

Увеличението на скоростта, което ще получи първата част на спътника е равно на разликата между втора и първа космически скорости за даденото разстояние до Земята: $\Delta v=v_{2}-v_{1}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}-\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}(\sqrt{2}-1)$ .

Тук M е масата на Земята, R – радиус на кръговата орбита на спътника, равен на средното разстояние до Луната. Втората част на спътника получава същото нарастване на скоростта по модул. В системата на отчитане, движеща се преди включване на двигателя заедно със спътника, двете части са били в покой, а след неговата работа са се задвижили със скорост Δv. Следователно, получават енергия:

E=\frac{m(\Delta v)^{2}}{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{GMm}{R}\ ,

Което е $8{,}89.10^{6}$ J. Тук m – масата на спътника (на двете части заедно).

Ако е необходимо да се изведат и двете половини на параболични орбити, то предаването на импулс, успореден на посоката на тяхното орбитално движение няма да е енергетично изгодно, т.к. това ще доведе до преминаване на параболична орбита на едната половина, а преминаването на другата ще бъде особено затруднено. По- просто е на двете части да увеличим скоростта, в посока перпендикулярна на орбиталното им движение (дясната рисунка). За да имат и двете части след импулса втора космическа скорост, увеличението на скоростта трябва да е:

\Delta v=\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}\ ,

Т.е. първа космическа скорост. За това ще е необходима енергия равна на $5{,}18.10^{7}$ J. Този резултат можем да получим направо от закона за запазване на енергията като отчетем факта, че всички части на спътника в резултат на това ще напуснат околностите на Земята. Обърнете внимание – дадената енергия е почти 6 пъти повече, от случая с извеждане на параболична орбита само на едната половина на спътника!

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Част 1.

57-ма Московска астрономическа олимпиада (2003г.)

7 клас

Част 2. 58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

Част 2

58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

I ТУР

7 клас

Част 3. 59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 3.

59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

I тур

7 клас

Част 4. Допълнителни задачи

Част 4

Допълнителни задачи

Видимо движение на небесните тела

Решение 4.25 (без отпечатано условие)

4.25. Ако пренебрегнем наклона на орбитата на Венера към еклиптиката (което можем в повечето случаи да правим за всички конфигурации на тази планета, с изключение на долно съединение), то в деня на най-голяма източна елонгация Венера трябва да е на еклиптиката на $47^{0}$ от Слънцето, т.е. изпреварвайки във видимото движение с половин месец. Получава се , че Венера ще се окаже близо до точката на лятното слънцестоене, и нейната долна кулминация в точка север ще е на северния полярен кръг (ширина $66{,}5^{0}$ ). Звездното време в този момент ще е 18 часа, и еклиптиката ще съвпада с хоризонта. Слънцето, намиращо се на еклиптиката, надясно на $47^{0}$ от Венера (при наблюдение от северното полукълбо), ще изгрява над хоризонта от северо-изток.

Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 5.

Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 6. Астрономически тест - Отговори

Част 6

Астрономически тест - Отговори:

Препоръки при оценяване на теста

Препоръки при оценяване на теста:

Тестът може да се оценява по количеството правили отговори ( от 0 до 25), но може да се използва и по-сложен и обективен метод. Всеки правилен отговор в този случай се оценява с 8 точки, а за неправилен отговор се отнемат точки (6-N), където N e броя на единични размествания, необходими за получаване на правилен отговор. Под единично разместване се разбира промяната на местата на две съседни букви, за неточен отговор се отнемат от 0 точки (ако всички букви са написани в обратен ред) до 5 точки (сгрешени само две съседни букви). В случай на правилен отговор (N=0) участникът се награждава с две допълнителни точки, и оценката, както казахме е 8. максималната оценка за целия тест е 200 точки.

Пример: Правилен отговор – D, C, A, B, а участникът е дал отговор A, C, D, B. За получаване на правилен отговор трябват три единични премествания :

А, C, D, B – C, A, D, B – C, D, A, B – D, C, A, B.

Тогава, за дадения отговор трябва да извадим 3 точки. Подобна методика е сложна за ръчна проверка, но достатъчно лека за реализиране във вид на компютърна програма.

Част 7. Задачи от първите Московски астрономически олимпиади, 1 олимпиада (1947 г.), I тур

Част 7

Задачи от първите Московски астрономически олимпиади

1 олимпиада (1947 г.), I тур

Оригинал в Архива: 2003-2005.pdf