Съдържание

Условие Отговори Решение

МАО 2003, Сборник 2003–2005, 7–11 клас — Задача 66. ЧАСТ 3. 59 МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2005г.), I ТУР, 10-11 клас, 3.12

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

УСЛОВИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

ЧАСТ 1

57-ва МОСКОВСКА АСТРОНОМИЧЕСКА ОЛИМПИАДА (2003)

7 клас

Част 6. Астрономически тест

Част 6.

Астрономически тест

Във всеки от въпросите трябва да подредите четирите обекта А,В,С и D по реда на нарастване на параметъра, указан в условието.

Условие

Около далечна звезда по кръгова орбита се върти двойна планета, състояща се от две еднакви тела със средна плътност, равна на средната плътност на звездата. Планетите се въртят около общ център на масите по кръгови орбити така, че сянката на едната от тях винаги пада по нормалата на другата планета. Определете фазата на сенчестото затъмнение на втората планета, считайки, че размерите и масите на двете планети са несравнимо по-малки от масата и размера на звездата.

Отговори

Решение

В посочената система звездата и двете планети през цялото време са на една права, като взаимните разстояния между всички небесни тела не се изменят. Означаваме радиусите на звездата и платите с R и r, разстоянието от звездата до центъра на масите на двойната планета с D, а разстоянието между планетите с L. Масата на звездата е M, а масата на всяка от планетите – m. Системата се върти като едно цяло с ъглова скорост ω. Записваме уравнението на движение на вътрешната и външната планета:

m\omega^{2}\left(D-\frac{L}{2}\right)=\frac{GMm}{\left(D-\frac{L}{2}\right)^{2}}-\frac{Gm^{2}}{L^{2}}\ ,\qquad m\omega^{2}\left(D+\frac{L}{2}\right)=\frac{GMm}{\left(D+\frac{L}{2}\right)^{2}}+\frac{Gm^{2}}{L^{2}}\ .

Схема (не в мащаб): вляво двойната планета — два малки кръга (радиус r) на разстояние L, стрелка x към сянката на далечната планета; вдясно голям кръг — звездата с радиус R на разстояние D; допирателни линии от звездата към планетите.

В условието е казано,че масата на звездата надвишава значително масата на планетата. От това следва,че величината L е много по-малка от D и събираемото в дясната част на двете уравнения можем да запишем така:

\frac{GMm}{\left(D\mp\frac{L}{2}\right)^{2}}=\frac{GMm}{D^{2}}\pm\frac{GMmL}{D^{3}}\ .

След събиране и изваждане на уравненията за движение на планетите, получаваме:

m\omega^{2}D=\frac{GMm}{D^{2}}\ ,

m\omega^{2}L=\frac{2Gm^{2}}{L^{2}}-\frac{2GMmL}{D^{3}}\ .

Изразяваме ω от първото уравнение и заместваме във второто:

\frac{3GML}{D^{3}}=\frac{2Gm}{L^{2}}\ .

От полученото уравнение се извежда връзката между радиусите на орбитите:

L=D\left(\frac{2\mathrm{m}}{3\mathrm{M}}\right)^{\frac{1}{3}}

Или след отчитане равенството на плътностите на звездата и планетите,

L=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}D\frac{r}{R}\ .

Сянката на по-близката до звездата планета има вид на конус, чийто ъгъл на разтваряне (с отчитане малките размери на планетите в сравнение с тези на звездата) е:

\alpha=\frac{R-r}{D-L/2}\approx\frac{R}{D}\ .

Пренебрегвайки размерите на планетите в сравнение с величината L, получаваме големината на радиуса на сянката на повърхността на далечната планета

x=r-\alpha L=r\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\right)\ .

И накрая, фазата на пръстенообразно сенчесто затъмнение на далечната планети ще е:

F=\frac{x}{r}=1-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}=0{,}13\ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Част 1.

57-ма Московска астрономическа олимпиада (2003г.)

7 клас

Част 2. 58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

Част 2

58 Московска астрономическа олимпиада (2004г.)

I ТУР

7 клас

Част 3. 59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 3.

59- та Московска астрономическа олимпиада (2005год.)

I тур

7 клас

Част 4. Допълнителни задачи

Част 4

Допълнителни задачи

Видимо движение на небесните тела

Решение 4.25 (без отпечатано условие)

4.25. Ако пренебрегнем наклона на орбитата на Венера към еклиптиката (което можем в повечето случаи да правим за всички конфигурации на тази планета, с изключение на долно съединение), то в деня на най-голяма източна елонгация Венера трябва да е на еклиптиката на $47^{0}$ от Слънцето, т.е. изпреварвайки във видимото движение с половин месец. Получава се , че Венера ще се окаже близо до точката на лятното слънцестоене, и нейната долна кулминация в точка север ще е на северния полярен кръг (ширина $66{,}5^{0}$ ). Звездното време в този момент ще е 18 часа, и еклиптиката ще съвпада с хоризонта. Слънцето, намиращо се на еклиптиката, надясно на $47^{0}$ от Венера (при наблюдение от северното полукълбо), ще изгрява над хоризонта от северо-изток.

Част 5. Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 5.

Открита задочна астрономическа олимпиада (2005год.)

Част 6. Астрономически тест - Отговори

Част 6

Астрономически тест - Отговори:

Препоръки при оценяване на теста

Препоръки при оценяване на теста:

Тестът може да се оценява по количеството правили отговори ( от 0 до 25), но може да се използва и по-сложен и обективен метод. Всеки правилен отговор в този случай се оценява с 8 точки, а за неправилен отговор се отнемат точки (6-N), където N e броя на единични размествания, необходими за получаване на правилен отговор. Под единично разместване се разбира промяната на местата на две съседни букви, за неточен отговор се отнемат от 0 точки (ако всички букви са написани в обратен ред) до 5 точки (сгрешени само две съседни букви). В случай на правилен отговор (N=0) участникът се награждава с две допълнителни точки, и оценката, както казахме е 8. максималната оценка за целия тест е 200 точки.

Пример: Правилен отговор – D, C, A, B, а участникът е дал отговор A, C, D, B. За получаване на правилен отговор трябват три единични премествания :

А, C, D, B – C, A, D, B – C, D, A, B – D, C, A, B.

Тогава, за дадения отговор трябва да извадим 3 точки. Подобна методика е сложна за ръчна проверка, но достатъчно лека за реализиране във вид на компютърна програма.

Част 7. Задачи от първите Московски астрономически олимпиади, 1 олимпиада (1947 г.), I тур

Част 7

Задачи от първите Московски астрономически олимпиади

1 олимпиада (1947 г.), I тур

Оригинал в Архива: 2003-2005.pdf