МАО 2022, Теория, 10. клас — Задача 7

• 1. У звезды Каптейна.
• 2. У звезды Каптейна (около 297 км/с).
• 3. У звезды Ross 128.

Решение

Скорость звезды тем выше, чем быстрее она пролетает мимо Солнца, т.е. чем сильнее сжата кривая на рисунке. Для того, чтобы у звезды наблюдалось большое собственное движение, необходимо, чтобы она не только обладала высокой скоростью, но и располагалась близко к Солнцу. Очевидно, что Сириус не обладает ни одним из этих свойств, а значит, его мы не будем рассматривать.

Рассмотрим, как выглядит движение одной звезды на этом графике в указанных осях. Для каждой звезды мы можем снять следующие данные, показанные на рисунке ниже:

• $r_{min}$ — минимальное расстояние пролетающей звезды от Солнца.
• $r_0$ — расстояние от звезды до Солнца в некоторый произвольный момент.
• $\Delta t$ — период времени, который потребовался звезде для перемещения в пространстве.

Занесем полученные данные в таблицу

Рассмотрим движение звезды мимо Солнца с помощью рисунка ниже. На нем изображены наблюдатель в точке $O$, звезда, которую мы рассматриваем, а также найденные нами из исходного графика $r_0$ и $r_{min}$.

Стоит заметить, что этот треугольник прямоугольный, следовательно легко

можно найти третью сторону треугольника и угол при звезде $\alpha_1$:

Найденная третья сторона позволяет определить полную пространственную скорость звезды $v$, так как мы знаем время $\Delta t_1$, за которое звезда переместится из точки $S$ в положение минимального расстояния (и, соответственно, максимальной яркости):

Занесем полученные данные в таблицу.

Для ответа на первый вопрос задачи нужно понять, что у звезды в момент минимального сближения не будет компоненты лучевой скорости, а вся скорость будет перпендикулярна лучу зрения. То есть, трансверсальная скорость $v_{\tau}$ будет равна полной скорости звезды $v$.

Запишем формулу для трансверсальной скорости в этот момент:

Поскольку $v_{\tau} = v$, то для нахождения собственного движения все данные уже имеются.

Как мы можем увидеть, в момент максимальной яркости максимальное собственное движение было у звезды Каптейна.

Ответ на второй вопрос задачи был найден в рамках решения первого вопроса. При решении задач на собственное движение звезд только полная скорость звезды остается постоянной величиной, а все остальные величины — переменные. То есть, значение собственного движения, лучевой и трансверсальной скоростей, расстояния и параллакса будет меняться при перемещении звезды, а величина полной скорости останется постоянной.

Этот результат можно было понять и графически: чем у́же парабола пролета звезды, тем меньше звезда остается вблизи Солнца, следовательно, тем больше у нее будет полная скорость.

Максимальная полная скорость у звезды Каптейна 297 км/с. В реальности величина полной скорости этой звезды 293 км/с. Полученное расхождения является следствием ошибки при снятии данных с исходного графика.

Перейдем к третьему вопросу задачи. У какой из звезд будет наибольшее собственное движение через 70 000 лет?

Из имеющего в условии рисунка мы не можем получить данные по расстоянию до всех звезд на момент времени 70 000 лет. Но мы можем найти $\Delta t_2$ — время между моментом максимального сближения и моментом, который наступит через 70 000 лет, и, следовательно катет $r = v \Delta t_2$. Мы снова работаем с прямоугольным треугольником, в котором знаем две стороны: $r_{min}$ и $r$. Тогда расстояние до звезды на момент времени 70 000 лет

Трансверсальная скорость в этот момент времени будет выражаться как

Тогда собственное движение можно найти из формулы

Подставляя в эту формулу значения скоростей в км/с, а расстояния в парсеках, мы получим значение собственного движения $\mu_2$, выраженное в $''$/год.

Звезда Ross 128 будет обладать максимальным собственным движением через 70 000 лет.

Критерии проверки

• Метод решения исходя из имеющего графика с данными — 2 балла
• Графическое нахождение $r_0$, $r_{min}$, $\Delta t$ для всех звезд — 3 балла
• Определение звезды с максимальным собственным движением при минимальном сближении — 2 балла
• Определение звезды с максимальным полной скоростью — 2 балла
• Определение звезды собственным движением через 70 000 лет — 3 балла

Допустимая точность полученных значений 15%. При худшей точности штраф 1 балл

Максимальная оценка за задачу 12 баллов

(В. Б. Игнатьев)