МАО 2022, Теория, 11. клас — Задача 3

• 1.15 а.е.

Решение

Мимо звезды астероид пролетел по гиперболической орбите. Вдали от звезды движение астероида происходило практически по прямым — асимптотам гиперболы. Уравнение асимптот имеет вид $y = \pm\frac{b}{a}x$, где $a$ и $b$ — большая и малая полуоси орбиты соответственно. Отсюда получаем, что тангенс угла наклона асимптоты к оси абсцисс, содержащей большую ось гиперболы, равен

Мы знаем, что астероид повернул на угол $\varphi = 60^{\circ}$ и улетел по другой асимптоте. Значит угол между асимптотой и осью ординат равен $30^{\circ}$, а наклон асимптоты $\gamma = \varphi = 60^{\circ}$, а следовательно $b = \sqrt{3}a$.

Пусть $p = 2$ а.е. — прицельный параметр, т.е. кратчайшее расстояние от звезды до асимптоты. Опустим из фокуса нормаль на асимптоту. Тогда получаем

Возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда

Поскольку для гиперболы $c^2 = a^2 + b^2$, то $b = p$.

Отсюда получаем, что большая полуось орбиты равна $a = p/\sqrt{3} \approx 1.15$ а.е. Эксцентриситет орбиты равен

Наконец, расстояние в перицентре равно

Критерии проверки

• Вывод соотношения между $a$ и $b$ 2 балла
• Вывод (может быть известным фактом) $b = p$ 1 балл
• Формула эксцентриситета гиперболы 2 балла
• Формула расстояния в периастре 1 балл
• Численный ответ 2 балла

Максимальная оценка за задачу 8 баллов

(Е. Н. Фадеев)