Съдържание

МАО 2023, Теория, 10. клас — Задача 8

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 10 класс · 12 т.

Условие

Радиоизлучение пульсаров распространяется через межзвёздную среду со скоростью $v = \left(1 - (f_p/f)^2\right)^{0.5} c$ , где $f$ — частота излучения, $f_p = 8.98\ \text{кГц} \times \sqrt{n_e}$ — плазменная частота, $n_e$ — электронная плотность, выраженная в см $^{-3}$ , $c$ – скорость света. В результате импульсы пульсаров приходят не одновременно на разных частотах. На рисунке показана зависимость времени прихода импульсов от частоты для пульсара J1840+5640. Определите:

1. период пульсара в секундах;

2. меру дисперсии (произведение электронной плотности на расстояние до пульсара) в пк/см $^3$ ;

3. электронную плотность в направлении пульсара в см $^{-3}$ ;

4. какая должна быть ширина полосы пропускания приёмника, центрированная на 110 МГц, чтобы последовательные импульсы не накладывались друг на друга?

Тригонометрический параллакс пульсара равен $0.66 \pm 0.06$ миллисекунд. Для всех четырёх величин укажите погрешности измерения.

Динамический спектр «PSR J1840+5640»: по горизонтали «Время, с» от 0 до 6.5, по вертикали «Частота, МГц» примерно от 103 до 198 с отметками 120, 140, 160, 180; на шумовом сером фоне видны светлые наклонные дуги импульсов, приходящих позже на более низких частотах, повторяющиеся через равные промежутки; серая полоса без данных около 176–181 МГц и внизу ниже примерно 108 МГц.

Отговори

Решение

Решение. Чтобы определить период пульсара, достаточно провести горизонтальную линию и измерить расстояние вдоль неё между импульсами. Правильнее всего измерить расстояние между самыми дальними импульсами, а результат разделить на число периодов между этими импульсами. Разумеется, измерения надо повторять неоднократно. Период пульсара получается равным $P = 1.66 \pm 0.05$ с.

Измеренная величина — это именно период пульсара как источника. Радиоизлучение пульсара формируется в районе полярных шапок нейтронных звёзд, но к нам обычно приходит излучение только от одной такой области. В редких случаях удачного расположения оси вращения звезды и наклона её магнитной оси между главными импульсами наблюдается слабый интеримпульс, а ситуации, когда интеримпульс близок по интенсивности с главным импульсом, исключительно редки. Поэтому период пульсара можно интерпретировать как период вращения нейтронной звезды.

Пусть $L$ — расстояние до пульсара. Тогда время, за которое сигнал достигнет наблюдателя, равно

t = \frac{L}{c} \left( 1 - \frac{f_p^2}{f^2} \right)^{-\frac{1}{2}} \approx \frac{L}{c} \left( 1 + \frac{f_p^2}{2f^2} \right).

Здесь мы учли, что излучение может распространяться только при $f_p < f$ , в противном случае скорость радиоизлучения не выражается действительным числом. С другой стороны, радионаблюдения проводят и на более низких частотах, так что можно считать, что $f_p \ll f$ . Разница во времени прибытия сигнала на разных частотах равна

\Delta t = \frac{L f_p^2}{2c} \left( \frac{1}{f_2^2} - \frac{1}{f_1^2} \right) = D \times DM \left( \frac{1}{f_2^2} - \frac{1}{f_1^2} \right).

Здесь $D = (8.98\ \text{кГц})^2/(2c) \approx 4.15 \times 10^3\ \text{МГц}^2\ \text{пк}^{-1}\ \text{см}^3\ \text{с}$ — дисперсионная постоянная, $DM = n_e L$ — мера дисперсии.

Чтобы определить меру дисперсии, надо измерить задержку одного импульса на разных частотах. Величина меры дисперсии получается равной $27 \pm 2$ пк/см $^3$ .

Электронная плотность равна

n_e = \frac{DM}{L} = DM \times \pi'' \approx 0.019 \pm 0.002\ \text{см}^{-3}.

Следует заметить, что погрешность параллакса, данная в условии, больше, чем погрешность измерения меры дисперсии по данному рисунку.

Теперь ответим на последний вопрос. Частота 110 МГц присутствует на графике. Можно выбрать точку пересечения одного из импульсов этой частоты, отложить отрезок к большим частотам до пересечения со следующим импульсом и принять за полуширину искомой полосы пропускания половину этого отрезка. Тогда получим полуширину полосы пропускания около 5.7 МГц, т. е. искомую ширину 11.4 МГц. Однако на меньших частотах импульсы сильнее растягиваются во времени и сближаются в частотном направлении, отчего ширина полосы будет определяться со стороны низких частот, которые на графике не видны. Поэтому такой упрощённый подход нельзя считать правильным.

Пусть $f_0$ — центральная частота, а $\Delta f$ — половина полосы частот приёмника. Тогда разница времени прихода импульса на границах диапазона должна быть не больше периода пульсара. Получаем:

P = D \times DM \left( \frac{1}{(f_0 - \frac{\Delta f}{2})^2} - \frac{1}{(f_0 + \frac{\Delta f}{2})^2} \right).

Ожидаемое значение $\Delta f$ много меньше $f_0$ , поэтому запишем приближенное значение выражения в скобках:

\frac{P f_0^2}{D \times DM} = \left( \left( 1 - \frac{\Delta f}{2 f_0} \right)^{-2} - \left( 1 + \frac{\Delta f}{2 f_0} \right)^{-2} \right) \approx 1 + \frac{\Delta f}{f_0} - 1 + \frac{\Delta f}{f_0} = \frac{2 \Delta f}{f_0}.

Отсюда

\Delta f = \frac{P f_0^3}{2D \times DM} = 9.9 \pm 0.1\ \text{МГц}.

Критерии проверки

Погрешности, указанные в решении, указывают не допустимую погрешность измерений, а допустимое отклонение ответа участника. Реальные погрешности при использовании линейки в несколько раз меньше. Отклонение ответа участника больше, чем на величину погрешности, но менее, чем на 2 её величины, приводит к уменьшению оценки за соответствующий пункт на 1 балл.

Определение периода пульсара и погрешности измерения — по 1 баллу

Если за период пульсара принимается удвоенная величина периода, то оценка за этап не превышает 1 балла.
Измерена задержка импульса на двух разных частотах — 1 балл
Вывод формулы, связывающей задержку сигнала от частоты — 1 балл
Приведение этой формулы к вычислениям на обычном калькуляторе или верное численное решение на «продвинутом» калькуляторе (обычно вычисление плазменной частоты – правильное значение 1.2 кГц) — 1 балл
Определение меры дисперсии и её погрешности — по 1 баллу
Определение электронной плотности и её погрешности — по 1 баллу
Определение ширины полосы пропускания — 2 балла
Определение погрешности ширины полосы — 1 балл

При определении ширины полосы упрощённым способом выставляется только 1 балл и не оценивается оценка погрешности.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_10_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_10_ans.pdf