Съдържание

МАО 2023, Теория, 11. клас — Задача 7

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 11 класс · 12 т.

Условие

На рисунке изображён негатив фотографии касательного покрытия Марса Луной. С его помощью определите фазу Луны и расстояние до Марса.

Негатив многократной экспозиции: в правом верхнем углу край лунного диска с кратерами и морями (светлый фон — небо, край Луны идёт по диагонали из левого верхнего в правый нижний угол). Вдоль края Луны по диагонали расположены 10 последовательных изображений Марса: вверху слева — частично закрытые Луной серпы, ниже — полные диски Марса с тёмной полярной шапкой.

Отговори

Решение

Решение. Есть несколько решений этой задачи. Все они в силу невысокой точности измерений дают несколько разные ответы.

Расстояние до Марса легко вычислить, если знать его угловой размер. Для этого его надо сравнить с каким либо объектом известного размера. На рисунке есть только Луна, чей угловой диаметр $30'$ , но она видна только частично. Воспользуемся тем, что изображения Марса позволяют проследить тёмный край Луны. Построим хорду длиной $2l$ и отложим перпендикуляр $H$ от середины хорды до края лимба Луны. Тогда радиус Луны равен

R = \frac{l^2 + H^2}{2H}.

Измерив размер Марса, получим, что он примерно в 95 раз меньше Луны, т.е. его угловой размер составляет $19''$ . Зная диаметр Марса, нетрудно определить расстояние до него:

L_1 = \frac{2 \times 3390\,\text{км}}{19} \times 206265 \approx 73.6 \times 10^6\,\text{км} \approx 0.49\,\text{а.е.}

Сравнив максимальный и минимальный диаметры изображения Марса, получим, что его фаза равна $\Phi = 0.89$ . Отсюда фазовый угол $\varphi = \arccos(2\Phi - 1) \approx 39^{\circ}$ . В треугольнике Солнце-Земля-Марс с помощью теоремы синусов найдём угол при Солнце:

\gamma = \arcsin\left(\sin\varphi\frac{L_1}{a_0}\right) = 18^{\circ}\ \text{или}\ 162^{\circ}.

При $\gamma = 162^{\circ}$ расстояние от Земли до Марса должно быть около 2.5 а.е. К тому же, мы видим, что Луна находится между четвертью и полнолунием, а значит, искомый угол должен быть острым и правильным является ответ $18^{\circ}$ . Тогда угол при Земле равен $\beta = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 39^{\circ} = 123^{\circ}$ . Тогда $180^{\circ} - 123^{\circ} = 57^{\circ}$ — это фазовый угол Луны и её фаза $\Phi_{\text{л}} = \cos^2(57/2) = 0.77$ .

Можно определить расстояние до Марса, используя только измерение фазы, но для этого надо предположить расстояние от Солнца до Марса, например, принять его равным среднему расстоянию Марса до Солнца (a $= 1.52$ а.е.). Тогда угол при Земле получается равным

\beta_2 = \arcsin\left(\sin\varphi\frac{a}{a_0}\right) = 107^{\circ},

откуда угол при Солнце $\gamma_2 = 180^{\circ} - 39^{\circ} - 107^{\circ} = 34^{\circ}$ , и расстояние от Земли до Марса можно определить из теоремы косинусов:

L_2 = 1^2 + 1.52^2 - 2 \times 1.52\cos(34^{\circ}) = 0.79\,\text{а.е.}

Расстояние получилось завышенным, поскольку истинное расстояние Марса от Солнца на момент съемки было несколько меньше из-за эллиптичности его орбиты.

Критерии проверки

Определение углового размера Марса 3 балла

Определение размера Луны на фотографии – 2 балла. Последний балл выставляется непосредственно за вычисление углового размера Марса.
Определение фазы Марса 3 балла
Определение расстояния до Марса 3 балла

Если для выполнения этапа привлекаются дополнительные предположения, например, как показано в решении, орбита Марса может быть принята круговой, то оценка за этап может быть снижена вплоть до 0 баллов в зависимости от правдоподобности предположения.
Определение фазового угла Луны 2 балла
Определение фазы Луны 1 балла

Ответы наподобие «растущий/убывающий серп/месяц» правильными не являются.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ K
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \times 10^{-11}$ м $^3$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \times 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица	1 а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Формулы приближенного вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_11_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_11_ans.pdf