Съдържание

МАО 2023, Теория, 7. клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2023

LXXVII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2023 г. 7 класс

Условие

На рисунке показано затмение Солнца, которое когда-нибудь смогут наблюдать наши далёкие-далёкие потомки. Через сколько лет это произойдёт, если Луна удаляется от Земли с постоянной скоростью 3 см/год? Как долго будет длиться затмение (все фазы в сумме), если скорость движения Луны по орбите станет равна 930 м/с? Как часто будут происходить затмения? Считайте, что орбита Луны со временем станет круговой и лежащей в плоскости эклиптики, а радиус Солнца останется неизменным.

Фотография солнечного затмения: светлый диск Солнца на чёрном фоне, внутри него — меньший тёмный диск Луны, смещённый вправо; слева остаётся широкий светлый серп, справа — тонкая светлая полоска.

Решение

С помощью линейки определим относительные видимые размеры Луны и Солнца на рисунке. Получим, что диск Солнца в 1.25 раза больше диска Луны. Можно вспомнить, что угловой размер Солнца равен примерно $\delta_{\odot}\approx 32'$ или вычислить его из имеющихся данных:

\delta_{\odot} \approx \dfrac{2R_{\odot}}{a_{\oplus}} \approx 9.3\times10^{-3}\ \text{рад} \approx 32'.

Тогда угловой размер Луны $\delta_{\text{☾}} = 32'/1.25 = 25.6'$ . Теперь можно вычислить расстояние до Луны:

\bar a_{\text{☾}} = \dfrac{2R_{\text{☾}}}{\delta_{\text{☾}}} = 1.25\,a_{\oplus}\dfrac{R_{\text{☾}}}{R_{\odot}} \approx 4.7\times10^{5}\ \text{км}.

Найдём время, за которое Луна отодвинется на такое расстояние со скоростью $v$ :

t = \dfrac{\bar a_{\text{☾}} - a_{\text{☾}}}{v} = \dfrac{(4.7\times10^{5} - 3.8\times10^{5})\ \text{км}}{3\times10^{-5}\ \text{км/год}} \approx 2.7\times10^{9}\ \text{лет}.

Если Луна будет двигаться по эклиптике, то время между затмениями будет равно периоду обращения Луны относительно Солнца (синодический период). Орбитальный (сидерический) период Луны равен

T = \dfrac{2\pi \bar a_{\text{☾}}}{V} \approx 36.8\ \text{сут}.

Само Солнце совершает один оборот по небу за год. Тогда синодический период Луны равен

S = \dfrac{365.25\times 36.8}{365.25 - 36.8} = 41\ \text{сут}.

От начала до конца затмения Луна проходит угловое расстояние равное $\delta_{\odot}+\delta_{\text{☾}}$ относительно Солнца. Тогда продолжительность затмения равна

\tau = 41\ \text{сут}\times \dfrac{32' + 25.6'}{360^{\circ}} \approx 0.11\ \text{сут} \approx 2.6\ \text{часа}.

Критерии проверки

Верное вычисление расстояние до Луны любым способом с ответом в диапазоне 465–500 тыс. км — 3 балла Из них 1 балл ставится за вычисление углового размера Солнца с величиной 31-32' (или использование известного углового размера из диапазона 30-32'). За ответ меньше 384 тыс. км ставится 0 баллов за задачу (чем бы ни была вызвана ошибка).
Верное вычисление времени, через которое сможет наблюдаться затмение, изображённое на рисунке с ответом в диапазоне $(2.6\div3.9)\times10^{9}$ лет — 2 балла.
Верное вычисление орбитального периода вращения Луны ( $36\div39.5$ сут) — 2 балла.
Верное вычисление синодического периода вращения Луны ( $40\div44.3$ сут) — 2 балла.
Верное вычисление длительности всего затмения ( $2.5\div2.7$ сут) — 3 балла Если вместо диаметров использованы радиусы тел, то ставится 1 балл.

Если вместо синодического периода использован сидерический, то ставится 1 балл.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.
(А. М. Татарников)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца $L_{\odot} = 3.827 \times 10^{26}\ \mathrm{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца $m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца $M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца $T_{\odot} = 5800\ \mathrm{К}$
Солнечная постоянная $E_{\odot} = 1360.8\ \mathrm{Вт\,м^{-2}}$
Тропический год $= 365.24219$ сут
Звёздные сутки $T_{\text{☾}} = 23$ ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике $\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц $S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны $m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике $= 10 \times 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики $= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца) $= 2 \times 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{м^{3}\,кг^{-1}\,с^{-2}}$
Скорость света в вакууме $c = 2.998 \times 10^{8}\ \mathrm{м\,с^{-1}}$
Постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{кг\,с^{-3}\,К^{-4}}$
Масса протона $m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}$ кг
Астрономическая единица $1$ а.е. $= 1.496 \times 10^{11}$ м
Парсек $1$ пк $= 3.086 \times 10^{16}$ м

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	697	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	71.5	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2023_teor_7_prob.pdf · официални решения: mos_astro_2023_teor_7_ans.pdf