МАО 2024, Теория, 11. клас — Задача 8

• Затмение было видно на всех широтах в диапазоне долгот $[-161^{\circ}15'; 75^{\circ}45']$; затмение произошло вблизи нисходящего узла.

Решение. На первом этапе решения задачи зафиксируем, что нам дано.

1. Дата 20.09 находится вблизи осеннего равноденствия. Для дальнейшего решения мы будем считать, что затмение происходит в момент равноденствия.
2. Фактор Г почти равен нулю. Это значит, что затмение центральное.
3. Длительность всего затмения составляет 236 минут. А полной фазы — 106 минут.
4. Максимальная фаза затмения была в $02:51$ по земному динамическому времени. При решении задачи будем считать, что в момент максимальной фазы всемирное время было равно $2^{\mathrm{h}}51^{\mathrm{m}}$.

На втором этапе решения задачи определим, как должны выглядеть области на поверхности Земли, где затмение видно.

В любой произвольный момент времени Луну видно с половины поверхности Земли. При солнечном затмении положение наблюдателя может поднять или опустить Луну относительно Солнца. Для лунного затмения положение наблюдателя не важно. Если Луна попала в конус тени Земли, то для всех земных наблюдателей, для которых Луна находится над горизонтом, видно затмение. Лунное затмение — это длительное явление. Затмение 1736 года продолжалось почти 4 часа. Из-за вращения Земли вокруг своей оси, часть поверхности Земли повернётся к Луне, а на части поверхности Луна уйдёт за горизонт. Добавиться сферический сектор с углом $\beta = \frac{236^{\mathrm{m}}}{23^{\mathrm{h}}56^{\mathrm{m}}} \cdot 360^{\circ} \approx 59^{\circ}$. Поэтому суммарная площадь будет больше 50%. Стоит отметить, что такая простая геометрическая модель возможна только в дни равноденствий, когда оба полюса Земли находятся на лимбе при наблюдения с Солнца или Луны.

На третьем этапе рассмотрим эффекты первого порядка, которые будут влиять на ответ.

Насколько корректно утверждать, что Луну в какой-то момент времени видно с половины земной поверхности, то есть с полусферы?

1. Из-за близкого расположения Луны к Земле область, где центр Луны может наблюдаться в какой-то момент времени, является полусферой за вычетом сферического слоя шириной, равной параллаксу Луны. Это примерно $57'$.
2. С другой стороны, есть атмосферная рефракция и ненулевой размер Луны. Это позволяет увидеть Луну в областях, где без учёта этих эффектов центр Луны был под горизонтом. Суммарная величина этих эффектов составляет $35' + 16' = 51'$.

Стоит обратить внимание, что первый эффект уменьшает область поверхности Земли, где затмение видно, а второй увеличивает. При этом численные значение их практически совпадают. Очевидно, что отличие от полусферы оказывается незначительным, и мы его учитывать не будем.

Для более точного определения доли поверхности Земли, где Луна взойдёт после начала частной фазы затмения, обратим внимание на то, что за время затмения Луна также смещается по небу вследствие орбитального движения вокруг Земли. Поэтому для корректной оценки размера угла сферического сектора нужно использовать период обращения Земли не вокруг своей оси, а относительно Луны. Можно воспользоваться средним значением, так как затмение происходит в день осеннего равноденствия, следовательно, Луна находится в точке весеннего равноденствия, то есть на небесном экваторе.

Тогда угол сферического сектора $\beta_1$ составляет:

К тому же ответу можно прийти и другими способами. Поскольку затмение длится 236 минут, а Луна совершает один оборот вокруг Земли относительно Солнца, а значит, и земной тени за 29.5 суток, за время затмения она преодолеет $\frac{236}{29.5 \cdot 24 \cdot 60} 360^{\circ} = 2^{\circ}$. Поскольку Луна смещается на восток, жители самой западной части территории, где могло бы наблюдаться затмение без учёта движения Луны, затмения не увидят.

Те же $2^{\circ}$ можно получить, просто обратив внимание на рисунок. Размер земной тени лишь немного меньше трёх диаметров Луны, то есть от начала до конца затмения Луне нужно пройти чуть меньше четырёх своих диаметров. Поскольку диаметр диска Луны около $0.5^{\circ}$, получаем то же смещение, что и выше.

На четвёртом этапе привяжем нашу модель к конкретным географическим координатам.

Вначале разберёмся, что нам даёт дата 20 сентября или осеннее равноденствие. В эту дату оба полюса Земли находятся на лимбе при взгляде с Солнца или Луны. Следовательно, области видимости будут ограничены меридианами.

Теперь рассмотрим время. Единственная привязка, которая дана в условии, что максимальная фаза затмения произошла в $02^{\mathrm{h}}51^{\mathrm{m}}$ по всемирному времени. Это означает, что Луна в этот момент кульминировала над меридианом $42^{\circ}45'$ западной долготы. А подлунная точка в этот момент имела координаты $\varphi = 0^{\circ}$, $\lambda = 42^{\circ}45'$.

Тогда в момент центрального затмения оно было видно на долготах $[-132^{\circ}45'; 47^{\circ}15']$. Знак минус означает западную долготу, знак плюс — восточную. В указанном диапазоне долгот затмение было видно на всех широтах.

Поскольку затмение длилось 236 минут, то начальные фазы затмения можно было увидеть в более восточных местах, смещённых относительно центрального момента затмения на угол $\beta_1/2 \approx 28.5^{\circ}$, а поздние стадии можно было увидеть западнее на такой же угол.

Тогда итоговый ответ задачи: затмение было видно на всех широтах, при диапазоне долгот $[-161^{\circ}15'; 75^{\circ}45']$

Для визуализации предоставим реальные данные о областях видимости затмения 1736 года.

Как видно из схемы, практически все границы параллельны меридианам, отличие происходит из-за того, что затмение было не идеально в момент равноденствия.

Ответим на последний вопрос задачи. Движение Луны относительно звёзд, а также земной тени происходит с запада на восток. На рисунке это движение справа налево. Мы видим, что Луна пересекает эклиптику, двигаясь из северного полушария небесной сферы в южное. Значит, узел нисходящий.

Критерии проверки

1. Затмение центральное 1 балл

2. Затмение происходит в день осеннего равноденствия 1 балл

3. Геометрическая модель решения задачи — две области на земной поверхности: полусфера и сферический сектор по 1 баллу

4. Анализ учёта горизонтального параллакса, рефракции и ненулевого размера Луны. Вывод о том, что суммарный эффект стремится к нулю и им можно пренебречь 1 балл

   Если эти эффекты не рассматривались вообще, то оценка за этот пункт не ставится.

5. Учёт движения Луны по небу за время затмения и определение этой поправки 1 балл

6. Привязка земных координат через всемирное время в максимальной фазе затмения 2 балла

   Оценивается полностью, если решение было сделано корректно и были найдены координаты подлунной точки. В случае численной ошибки с координатами или с полушарием этот пункт не оценивается, а последующие пункты оцениваются, исходя из тех координат подлунной точки, что получил участник.

7. Определение долгот в моменты начала или конца затмений 2 балла

   Если не учтено движение Луны (этап 5), то за этот этап оценка — не более 1 балла.

8. Явное указание того, что затмения наблюдаются на всех широтах 1 балл

9. Правильный узел орбиты только при наличии корректного объяснения 1 балл

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(В. Б. Игнатьев)