Съдържание

МАО 2024, Теория, 8. клас — Задача 6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2024

LXXVIII Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2024 г. 8 класс · 12 т.

Условие

Космический корабль опустился на поверхность одного из галилеевых спутников Юпитера и сделал снимок участка неба вблизи горизонта (см. отдельный лист).

Снимок звёздного неба (отдельный лист, изображение повёрнуто на 90°): слева дугой проходит линия горизонта спутника, у неё — полосатый диск Юпитера; яркие звёзды помечены цифрами 1, 2, 3, 4; видны многочисленные слабые звёзды и светлая полоса Млечного Пути. — К задаче 6

1. Напишите собственные имена помеченных цифрами ярких звёзд.

2. На какой из спутников сел космический аппарат?

3. Как сместится Юпитер относительно горизонта через два часа после момента, когда была сделана фотография?

4. Спустя какое время фаза Юпитера станет равна 50%? Какая часть останется освещённой?

Характеристики галилеевых спутников

Название	Радиус орбиты, км	Орбитальный период, сут	Осевой период, сут	Радиус, км
Ио	421 800	1.769	1.769	1800
Европа	671 100	3.551	3.551	1560
Ганимед	1 070 400	7.155	7.155	2630
Каллисто	1 882 700	16.689	16.689	2410

Орбиты всех четырёх спутников круговые и лежат в плоскости экватора Юпитера. Юпитер: экваториальный радиус — 71 500 км, полярный радиус — 66 850 км.

Угловые расстояния между яркими звёздами:

Альдебаран — Беллатрикс	15.75°	Бетельгейзе — Капелла	39.5°
Бетельгейзе — Поллукс	33.25°	Кастор — Поллукс	4.5°
Ригель — Альдебаран	26.5°	Процион — Сириус	25.75°

Отговори

Решение

Тот же снимок неба в нормальной ориентации: внизу дуга горизонта спутника, над ней слева — полосатый диск Юпитера; яркие звёзды помечены цифрами 1 (слева), 2 (вверху в центре), 3 (справа от Юпитера) и 4 (справа).

Решение. Звезда 1 — Капелла, звезда 2 — Альдебаран, звезда 3 — Бетельгейзе, звезда 4 — Ригель.

Определим угол, под которым виден экваториальный диаметр Юпитера $D_{\mathrm{J}}$ со всех четырёх спутников. Если $R$ — радиус орбиты спутника, то угловой диаметр в градусах равен $\delta = 57.3 \cdot D/R$ . Тогда для Ио эта величина равна $19.4^{\circ}$ , Европы — $12.2^{\circ}$ , Ганимеда — $7.65^{\circ}$ , Каллисто — $4.35^{\circ}$ .

Теперь определим угловой размер Юпитера на рисунке. Для этого сравним его с известными расстояниями между звёздами. Из приведённых в справочных данных звёзд на рисунке можно найти Альдебаран, Беллатрикс, Бетельгейзе, Капеллу и Ригель. Аккуратно проведя измерения, получим угловой размер Юпитера около $12^{\circ}$ , что означает, что космический корабль опустился на Европу.

Из равенства периода обращения галилеевых спутников вокруг Юпитера их осевым периодам следует, что эти спутники всегда обращены к Юпитеру одной стороной, подобно тому как Луна обращена всегда одной стороной к Земле. Следовательно, относительно горизонта спутника Юпитер не смещается.

В момент фотографирования виден полностью освещённый диск Юпитера. Значит, половину диска будет видно через четверть оборота спутника, т. е. через 0.89 сут или 21.3 часа.

Только две планеты солнечной системы вращаются в противоположную сторону относительно своего движения вокруг Солнца. Полосы Юпитера параллельны его экватору. Капелла (звезда 1) находится ближе к северному полюсу эклиптики, чем Бетельгейзе и Ригель (звёзды 3 и 4). Значит, северный полюс Юпитера смотрит налево. Спутник, облетая Юпитер, движется вверх, то есть постепенно начинает заглядывать на тёмную сторону сверху. Следовательно, освещённой останется нижняя часть планеты.

Критерии проверки

Правильные названия звёзд по 1 баллу
Определение углового диаметра Юпитера в диапазоне от $11^{\circ}$ до $13^{\circ}$ 3 балла

При размере Юпитера от $10^{\circ}$ до $11^{\circ}$ или от $13^{\circ}$ до $14^{\circ}$ выставляется 2 балла. При ещё худшей точности измерений — 0 баллов.

Если правильная величина получилась при неверном измерении, отождествлении звёзд и т. п., этот этап не засчитывается.
Определение углового размера Юпитера с галилеевых спутников 1 балл

Альтернативный вариант — определение расстояния до Юпитера.
Правильный ответ на второй вопрос 1 балл

Оценивается только при правильном выполнении этапов 2 и 3.
Вывод о том, что Юпитер никуда не сместится 1 балл
Время до фазы 50% 1 балл
Останется освещена нижняя часть Юпитера 1 балл

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

К задаче 6

Сдайте этот лист вместе с работой!

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике
Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \mathrm{Вт}$
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}$
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8\ \mathrm{Вт\,м^{-2}}$
Тропический год	$= 365.24219\ \text{сут}$
Звёздные сутки	$T_{☾} = 23\ \text{ч}\ 56\ \text{мин}\ 04\ \text{с}$
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Средняя плотность Земли	$\rho_{\oplus} = 5515\ \mathrm{кг/м^3}$
Синодический месяц	$S_{☾} = 29.530\,59\ \text{сут}$
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 10 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20\ \text{кпк}$
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$

Астрономические и физические постоянные
Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м^3\,кг^{-1}\,с^{-2}}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \mathrm{м\,с^{-1}}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{кг\,с^{-3}\,K^{-4}}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{кг}$
Астрономическая единица	$1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \mathrm{м}$
Парсек	$1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \mathrm{м}$

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989\times10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302\times10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869\times10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974\times10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348\times10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419\times10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899\times10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685\times10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683\times10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024\times10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2024_teor_8_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2024_teor_8_ans.pdf