МАО 2025, Теория, 11. клас — Задача 1

LXXIX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2025 г. 11 класс · 4 т.

Требования к решению

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана как явная функция известных величин, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Хорошо известно, что разрешающая способность телескопа тем лучше, чем меньше длина волны наблюдения. Почему же тогда разрешение изображений, полученных космическими телескопами в жёстком рентгеновском и гамма-диапазонах, существенно хуже оптических?

Отговори

Решение

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость СолнцаL⊙=3.827⋅1026 ВтL_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}\ \text{Вт}
Видимая звёздная величина Солнцаm⊙=−26.78mm_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}
Абсолютная болометрическая звёздная величина СолнцаM⊙=4.72mM_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}
Эффективная температура СолнцаT⊙=5800 KT_{\odot} = 5800\ \mathrm{K}
Солнечная постояннаяE⊙=1360.8 Вт м−2E_{\odot} = 1360.8\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли=600 Вт м−2= 600\ \text{Вт}\,\text{м}^{-2}
Тропический год=365.24219= 365.24219 сут
Звёздные сутки=23= 23 ч 5656 мин 0404 с
Наклон экватора к эклиптикеε=23∘26′21.45′′\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''
Синодический месяцS☾=29.530 59S_{☾} = 29.530\,59 сут
Видимая звёздная величина полной Луныm☾=−12.7mm_{☾} = -12.7^{\mathrm{m}}
Число звёзд в нашей Галактике=10⋅1011= 10 \cdot 10^{11}
Радиус диска нашей Галактики=20= 20 кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)=2⋅1012= 2 \cdot 10^{12}

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постояннаяG=6.674⋅10−11 м3 кг−1 с−2G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \text{м}^3\,\text{кг}^{-1}\,\text{с}^{-2}
Скорость света в вакуумеc=2.998⋅108 м с−1c = 2.998 \cdot 10^{8}\ \text{м}\,\text{с}^{-1}
Постоянная Стефана-Больцманаσ=5.67⋅10−8 кг с−3 K−4\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \text{кг}\,\text{с}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}
Постоянная Планкаh=6.626⋅10−34 Дж с\mathrm{h} = 6.626 \cdot 10^{-34}\ \text{Дж}\,\text{с}
Масса протонаmp=1.67⋅10−27 кгm_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{кг}
Астрономическая единица1 а. е.=1.496⋅1011 м1\ \text{а. е.} = 1.496 \cdot 10^{11}\ \text{м}
Парсек1 пк=3.086⋅1016 м1\ \text{пк} = 3.086 \cdot 10^{16}\ \text{м}
Время накопления сигнала глазом=0.05 с= 0.05\ \text{с}

Формулы приближённого вычисления (при x≪1x \ll 1)

sin⁡(x)≈xcos⁡x≈1−x22tg⁡x≈x\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \operatorname{tg} x \approx x
ln⁡(1+x)≈xex≈1+x(1+x)α≈1+αx\ln(1 + x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989 \times 10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302 \times 10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869 \times 10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974 \times 10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348 \times 10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419 \times 10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899 \times 10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685 \times 10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683 \times 10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024 \times 10^{26}24.716.11 ч

Оригинал в Архива: mos_astro_2025_teor_11_exam.pdf · официални решения: mos_astro_2025_teor_11_ans.pdf