МАО 2025, Теория, 7. клас — Задача 5

• Луна приблизится к Урану через 2.5 дня, к Юпитеру — через 4 дня, к Нептуну — через ≈ 26 сут, к Сатурну — через ≈ 25 сут, к Венере — через ≈ 24 дня (≈ 22 сут без учёта движения Венеры). Наблюдение — в декабре или январе, вечером.

Решение. Ответим сначала на два последних вопроса. В правой части рисунка мы видим Венеру над юго-западным горизонтом. Венера никогда не удаляется от Солнца больше чем на $47^{\circ}$. На рисунок попала часть горизонта немногим менее $180^{\circ}$, следовательно, раз Солнца нет на рисунке, оно находится правее и, видимо, не слишком давно зашло за горизонт. Делаем вывод, что наблюдения проходят вечером.

Венера находится в Козероге, Луна в Рыбах, Юпитер в Тельце (см. рисунок ниже). Можно сделать вывод, что Солнце располагается в Стрельце или Змееносце, а значит, наблюдения происходили в декабре или январе. Также можно вспомнить, что телец восходит вечером в начале зимы.

Пусть $x$ — угловое расстояние между Альдебараном (яркая звезда правее и ниже Юпитера) и Плеядами (звёздное скопление левее и выше Урана). Тогда угловое расстояние от Луны до Урана составляет $2.5x$, до Юпитера — $4x$, до Нептуна — $1.1x$, до Сатурна — $2x$ до Венеры — $5x$. Луна движется среди звёзд с запада на восток, т. е. налево на рисунке, значит, к Урану она приблизится через 2.5 дня, а к Юпитеру — через 4 дня. Вблизи трёх других планет Луна была незадолго до текущего положения, а значит, встретится с ними, завершая новый оборот по небу. Один оборот относительно звёзд Луна совершает за 27.3 сут. (сидерический период), поэтому около Нептуна она окажется через $27.3 - 1.1 \approx 26$ сут., а к Сатурну приблизится через $27.3 - 2 \approx 25$ сут.

Четыре рассмотренных внешних планеты сравнительно медленно перемещаются по небу, поэтому изменением их положения за месяц можно смело пренебречь. Другое дело — Венера, которая может двигаться довольно быстро. Если пренебречь движением Венеры, то до встречи с ней должно пройти $27.3 - 5 \approx 22$ сут.

Попробуем оценить скорость, с которой Венера перемещается по небу. Максимально быстро она перемещается вблизи верхнего соединения, когда орбитальные скорости Земли и Венеры складываются. Вблизи нижнего соединения, напротив, Венера движется попятно. Вблизи максимальной элонгации её скорость направлена практически вдоль луча зрения, а видимое смещение по небу происходит только за счёт движения Земли, т. е. Венера движется по небу со скоростью Солнца. Наблюдаемое положение Венеры скорее ближе к элонгации, чем соединению, его и примем в качестве оценки.

Луна совершает один оборот по небу в $365/27 \approx 13$ раз быстрее, чем Солнце. Значит, относительно Солнца/Венеры она движется медленнее в $(13 - 1)/13$ раз. Тогда для того, чтобы догнать Венеру, Луне потребуется $13/12 \cdot 25 \approx 24$ дня.

Замечание. Традиционно на звёздных картах размер кружка, которым обозначают звезду, тем больше, чем больше яркость звезды. То же самое касается Луны и планет. Если предположить, что видимый на карте размер Луны равен её угловому размеру, то можно легко показать, что он в несколько раз больше реального. Кроме того, тогда пришлось бы прийти к выводу, что, например, угловой размер Венеры всего в два раза уступает лунному, что тоже полная ерунда. Точно также по карте нельзя судить о фазе Луны. В реальности Луна была растущей.

Критерии проверки

1. Определение масштаба 2 балла

2. Время до соединения с Юпитером, Сатурном, Ураном и Нептуном по 1 баллу

   Если движение Луны в другую сторону, то при правильном решении — 2 балла.

3. Время до соединения с Венерой 2 балла

   Если не учитывается движение Венеры — 1 балл.

4. Обоснованный вывод, что наблюдение проходит вечером 2 балла

5. Обоснованный вывод, что месяц — декабрь или январь 2 балла

   За ответ ноябрь — 1 балл. В остальных случаях — 0 баллов.

Максимальная оценка за задачу 12 баллов.

(М. В. Силантьев)