Съдържание

МАО 2026, Теория, 11. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от МАО 2026

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 11 класс · 4 т.

Требования к оформлению решения

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Некоторые радиопульсары, кроме обычных импульсов, излучают гигантские импульсы (ГИ) — короткие, но часто очень мощные вспышки. ГИ излучаются нерегулярно, но всегда в те моменты, когда ожидаются обычные импульсы.

На графике на странице 5 представлены результаты наблюдений одного такого пульсара. Каждая точка соответствует одному гигантскому импульсу. По горизонтальной оси отложен интервал времени, прошедший с момента регистрации предыдущего ГИ, а по вертикальной оси — мощность полученного сигнала в единицах мощности шума.

Определите период пульсара. Ответ предоставьте с точностью до двух значащих цифр.

Точечная диаграмма в логарифмическом масштабе по обеим осям: по горизонтали «Время от момента прихода предыдущего ГИ, с» (деления 10^−2, 10^−1, 10^0), по вертикали «Отношение сигнал / шум» (деления 10^1, 10^2). Слева видны отдельные вертикальные столбцы точек, которые справа сливаются в плотное облако. — К задаче 1

Отговори

Решение

Изображение взято из статьи Simon C.-C. Ho et al. и адаптировано для условия задачи.

Решение. Поскольку гигантские импульсы не могут приходить чаще, чем период пульсара, период соответствует наименьшему интервалу времени между ГИ. На гистограмме это соответствует самому левому столбцу. Определить точное значение периода сходу затруднительно, поскольку шкала логарифмическая, а промежуточные деления на ней отсутствуют.

Решим задачу двумя способами. Можно заметить, что деление $10^{-1}$ попадает между 18-м и 19-м столбцами. Значит, период пульсара находится в интервале между $0.1/18 \approx 0.0056$ с и $0.1/19 \approx 0.0053$ с. Искомый период находится между этими значениями, то есть 0.0054 с или 5.4 мс.

Измерим линейкой расстояние между двумя соседними делениями на оси абсцисс, например, между $10^{-1}$ и $10^{-2}$ . Обозначим его как $a$ . Это расстояние одинаково для любой пары соседних делений. Измерим линейкой расстояние от деления $10^{-2}$ до первого столбца и обозначим его как $b$ . Воспользуемся следующим свойством логарифмической шкалы: линейному расстоянию на ней соответствует разность логарифмов чисел. Тогда

\frac{b}{a} = \frac{\lg 10^{-2} - \lg P}{\lg 10^{-1} - \lg 10^{-2}} = \lg \frac{10^{-2}}{P} \quad \Rightarrow \quad P = 10^{-2} \cdot 10^{-\frac{b}{a}}.

К этому же выводу можно прийти чуть иначе. Деление $10^{-3}$ не попало на график, но мы знаем, что расстояние от него до деления $10^{-2}$ равно $a$ , а до первого столбца точек — $(a - b)$ . Тогда

\frac{a - b}{a} = \frac{\lg P - \lg 10^{-3}}{\lg 10^{-2} - \lg 10^{-3}} = \lg \frac{P}{10^{-3}} \quad \Rightarrow \quad P = 10^{-3} \cdot 10^{\frac{a-b}{a}} = 10^{-2} \cdot 10^{-\frac{b}{a}}.

Отношение $b/a$ составляет 0.26. Подставив его в формулу, получим $P = 0.0055$ с = 5.5 мс.

В действительности период пульсара B1820−30A, наблюдался именно он, равен 5.44 мс.

Критерии проверки

Период пульсара соответствует абсциссе самого левого столбца 1 балл Засчитывается любое другое правильное описание величины, которую надо измерить для получения ответа. Например, расстояние между соседними столбцами.
Получен ответ любым правильным методом в диапазоне (5.3, 5.6 мс) 3 балла Если ответ не попадает в указанный диапазон, то оценка по этому критерию снижается на 1 балл за каждую 0.1 мс дополнительной погрешности.

Максимальная оценка за задачу 4 баллов.

(Е. Н. Фадеев)

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

Светимость Солнца	$L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт
Видимая звёздная величина Солнца	$m_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}$
Абсолютная болометрическая звёздная величина Солнца	$M_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}$
Эффективная температура Солнца	$T_{\odot} = 5800$ К
Солнечная постоянная	$E_{\odot} = 1360.8$ Вт м $^{-2}$
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли	$= 600$ Вт м $^{-2}$
Тропический год	$= 365.24219$ сут
Звёздные сутки	$=$ 23 ч 56 мин 04 с
Наклон экватора к эклиптике	$\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''$
Синодический месяц	$S_{\text{☾}} = 29.530\,59$ сут
Видимая звёздная величина полной Луны	$m_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}$
Число звёзд в нашей Галактике	$= 1 \cdot 10^{11}$
Радиус диска нашей Галактики	$= 20$ кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)	$= 2 \cdot 10^{12}$
Абсолютная звёздная величина нашей Галактики	$= -20.9^{\mathrm{m}}$

Астрономические и физические постоянные

Гравитационная постоянная	$G = 6.674 \cdot 10^{-11}$ м $^{3}$ кг $^{-1}$ с $^{-2}$
Скорость света в вакууме	$c = 2.998 \cdot 10^{8}$ м с $^{-1}$
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}$ кг с $^{-3}$ К $^{-4}$
Постоянная Планка	$h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж с
Постоянная Хаббла	H $= 74$ км с $^{-1}$ Мпк $^{-1}$
Масса протона	$m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг
Период полураспада свободного нейтрона	$= 609$ с
Астрономическая единица	1 а. е. $= 1.496 \cdot 10^{11}$ м
Парсек	1 пк $= 3.086 \cdot 10^{16}$ м

Формулы приближённого вычисления (при $x \ll 1$ )

\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x

\ln(1 + x) \approx x \qquad e^{x} \approx 1 + x \qquad (1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

Объект	Большая полуось, а.е.	Эксцентриситет	Орбитальный период	Масса, кг	Радиус, тыс. км	Осевой период
Солнце				$1.989 \times 10^{30}$	696	25.38 сут
Меркурий	0.3871	0.2056	87.97 сут	$3.302 \times 10^{23}$	2.44	58.65 сут
Венера	0.7233	0.0068	224.70 сут	$4.869 \times 10^{24}$	6.05	243.02 сут
Земля	1	0.0167	365.26 сут	$5.974 \times 10^{24}$	6.37	23.93 ч
Луна	0.002 57	0.0549	27.322 сут	$7.348 \times 10^{22}$	1.74	27.32 сут
Марс	1.5237	0.0934	686.98 сут	$6.419 \times 10^{23}$	3.40	24.62 ч
Юпитер	5.2028	0.0483	11.862 лет	$1.899 \times 10^{27}$	69.9	9.92 ч
Сатурн	9.5388	0.0560	29.458 лет	$5.685 \times 10^{26}$	60.3	10.66 ч
Уран	19.1914	0.0461	84.01 лет	$8.683 \times 10^{25}$	25.6	17.24 ч
Нептун	30.0611	0.0097	164.79 лет	$1.024 \times 10^{26}$	24.7	16.11 ч

Оригинал в Архива: 11_prob.pdf · официални решения: 11_sol.pdf