МАО 2026, Теория, 9. клас — Задача 6

LXXX Московская астрономическая олимпиада. Теоретический тур. 2026 г. 9 класс · 12 т.

Общие указания

В решении для всех вычислений должна быть представлена формула, где искомая величина записана в явном «буквенном» виде, записаны подставляемые значения и только потом ответ. Если численные значения получаются из рисунков/графиков, должно быть показано, что именно измерялось.

Условие

Это комбинированное негативное изображение окрестностей северного полюса Сатурна составлено из фотографий, полученных космическим аппаратом «Кассини», который работал в системе планеты с 2004 по 2017 год. Этот снимок стал первым изображением знаменитого шестиугольного вихря, выполненным «Кассини» в видимом диапазоне.

1. Когда (год, месяц) могла быть сделана эта фотография?

2. Какой полюс Сатурна (северный или южный) будет доступен для наблюдения с Земли в ближайшем будущем, если в конце марта 2025 года кольца планеты были видны «с ребра»?

Длина стороны шестиугольника составляет около 14 000 км. Наклон оси вращения Сатурна к его плоскости орбиты равен 27∘27^{\circ}. В момент съёмки «Кассини» располагался на расстоянии, значительно превышающем радиус планеты. Сжатием Сатурна пренебрегите.

Круглое негативное изображение окрестностей северного полюса Сатурна: тёмные пятна облаков по краю, светлая шестиугольная полоса вихря, в центре белая область тени с острым «углом» слева.

Отговори

Решение

Справочные данные

Данные о Солнце, Земле, Луне и Галактике

ВеличинаЗначение
Светимость СолнцаL⊙=3.827⋅1026L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26} Вт
Видимая звёздная величина Солнцаm⊙=−26.78mm_{\odot} = -26.78^{\mathrm{m}}
Абсолютная болометрическая звёздная величина СолнцаM⊙=4.72mM_{\odot} = 4.72^{\mathrm{m}}
Эффективная температура СолнцаT⊙=5800T_{\odot} = 5800 К
Солнечная постояннаяE⊙=1360.8E_{\odot} = 1360.8 Вт м−2^{-2}
Поток солнечной энергии в видимых лучах на расстоянии Земли=600= 600 Вт м−2^{-2}
Тропический год=365.24219= 365.24219 сут
Звёздные сутки=23= 23 ч 5656 мин 0404 с
Наклон экватора к эклиптикеε=23∘26′21.45′′\varepsilon = 23^{\circ}26'21.45''
Синодический месяцS☾=29.530 59S_{\text{☾}} = 29.530\,59 сут
Видимая звёздная величина полной Луныm☾=−12.7mm_{\text{☾}} = -12.7^{\mathrm{m}}
Число звёзд в нашей Галактике=1⋅1011= 1 \cdot 10^{11}
Радиус диска нашей Галактики=20= 20 кпк
Масса нашей Галактики (в массах Солнца)=2⋅1012= 2 \cdot 10^{12}
Абсолютная звёздная величина нашей Галактики=−20.9m= -20.9^{\mathrm{m}}

Астрономические и физические постоянные

ВеличинаЗначение
Гравитационная постояннаяG=6.674⋅10−11G = 6.674 \cdot 10^{-11} м3^{3} кг−1^{-1} с−2^{-2}
Скорость света в вакуумеc=2.998⋅108c = 2.998 \cdot 10^{8} м с−1^{-1}
Постоянная Стефана-Больцманаσ=5.67⋅10−8\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} кг с−3^{-3} К−4^{-4}
Постоянная Планкаh=6.626⋅10−34h = 6.626 \cdot 10^{-34} Дж с
Постоянная ХабблаH=74\mathrm{H} = 74 км с−1^{-1} Мпк−1^{-1}
Масса протонаmp=1.67⋅10−27m_{\mathrm{p}} = 1.67 \cdot 10^{-27} кг
Период полураспада свободного нейтрона=609= 609 с
Астрономическая единица11 а. е. =1.496⋅1011= 1.496 \cdot 10^{11} м
Парсек11 пк =3.086⋅1016= 3.086 \cdot 10^{16} м

Формулы приближённого вычисления (при x≪1x \ll 1)

sin⁡(x)≈xcos⁡x≈1−x22tg x≈x\sin(x) \approx x \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \qquad \mathrm{tg}\, x \approx x
ln⁡(1+x)≈xex≈1+x(1+x)α≈1+αx\ln(1+x) \approx x \qquad e^x \approx 1 + x \qquad (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x

Характеристики Солнца, планет и некоторых спутников

ОбъектБольшая полуось, а.е.ЭксцентриситетОрбитальный периодМасса, кгРадиус, тыс. кмОсевой период
Солнце1.989×10301.989 \times 10^{30}69625.38 сут
Меркурий0.38710.205687.97 сут3.302×10233.302 \times 10^{23}2.4458.65 сут
Венера0.72330.0068224.70 сут4.869×10244.869 \times 10^{24}6.05243.02 сут
Земля10.0167365.26 сут5.974×10245.974 \times 10^{24}6.3723.93 ч
Луна0.002 570.054927.322 сут7.348×10227.348 \times 10^{22}1.7427.32 сут
Марс1.52370.0934686.98 сут6.419×10236.419 \times 10^{23}3.4024.62 ч
Юпитер5.20280.048311.862 лет1.899×10271.899 \times 10^{27}69.99.92 ч
Сатурн9.53880.056029.458 лет5.685×10265.685 \times 10^{26}60.310.66 ч
Уран19.19140.046184.01 лет8.683×10258.683 \times 10^{25}25.617.24 ч
Нептун30.06110.0097164.79 лет1.024×10261.024 \times 10^{26}24.716.11 ч

Оригинал в Архива: 9_prob.pdf · официални решения: 9_sol.pdf