Съдържание

НОА 1998, III кръг (национален), 7–12 клас — VII–IX.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 1998

Задачи за републиканския кръг на I Национална олимпиадата по астрономия 2 април 1998г., гр. Варна · 2 април 1998 г. · 13 т.

Условие

Ученици VII–IX клас · 5 задача

Изстрелян е спътник, чиято задача е да следи миграцията на слоновете в Африка. Той обикаля около Земята с период 88 минути. На борда на спътника е монтирана камера, с фокусно разстояние 180 cm и разделителна способност на приемника $10\ \mu\mathrm{m}$ ( $1\ \mu\mathrm{m} = 10^{-6}\ \mathrm{m}$ ). Информацията се предава на Земята посредством геостационарен спътник, чиято орбита е на височина 35 770 km. Ще бъде ли достатъчна разделителната способност на камерата, за да може спътникът да изпълнява поставената му задача? (Радиусът на Земята е 6370 km).

Решение

За да определим размерите на обекти по земната повърхност, които могат да бъдат различавани с камерата, трябва да изчислим височината, на която лети спътникът. Използваме третия закон на Кеплер:

\left(\frac{T_1}{T_{gs}}\right)^2=\left(\frac{R_1}{R_{gs}}\right)^3,

или

R_1=R_{gs}\left(\frac{T_1}{T_{gs}}\right)^{2/3}=6550\ \mathrm{km}\qquad(2\ \text{т.})

където $T_1=88$ km е периодът на спътника, $T_{gs}$ – периодът на геостационарния спътник, $R_1$ – радиус на орбитата на спътника с камерата, $R_{gs}$ – радиус на орбитата на геостационарния спътник:

R_{gs}=R_{\oplus}+H_{gs}=6370+35770=42140\ \mathrm{km}.\qquad(1\ \text{т.})

Периодът на геостационарния спътник е равен на периода на едно завъртане на Земята около оста ѝ, т.е. на едно звездно денонощие:

T_{gs}=23^{\mathrm h}56^{\mathrm m}=1436^{\mathrm m}\qquad(2\ \text{т.})

R_1=R_{\oplus}+H,

където $H$ е височината на спътника над земната повърхност.

H=R_1-R_{\oplus}=6550-6370=180\ \mathrm{km}\qquad(1\ \text{т.})

Нека $h$ е разстоянието от обектива на камерата, на което се получава образът на фотографирания обект, $l$ – разделителната способност на фотоемулсията, $L$ – размерът на обект с изображение равно на разделителната способност на камерата, $f$ – фокусното разстояние на камерата. Обективът О създава изображение на обекта $L$ върху приемника (виж фигурата).

Нека големината на това изображение $l$ е равна на разделителната способност на приемника, т.е. $l=10\ \mu\mathrm m$ .

I начин

От подобието на триъгълниците от фигурата следва, че

\frac{l}{L}=\frac{h}{H},\quad\text{и следователно:}\quad L=l\frac{H}{h}.\qquad(2\ \text{т.})

От основното уравнение на геометричната оптика

\frac1H+\frac1h=\frac1f

получаваме, че $h=fH/(f+H)$ . Тогава окончателно получаваме:

L=\frac{l}{f}(H-f).\qquad(3\ \text{т.})

Тъй като $H\gg f$ , то при числовите пресмятания е удобно да пишем:

L=l\frac{H}{f}=0{,}1\ \mathrm m\qquad(2\ \text{т.})

II начин

От формулата за мащаб на камера

d=\delta f\qquad[\delta]=\mathrm{rad},\qquad(2\ \text{т.})

следва, че $l=\delta f$ или $\delta=l/f$ .

Тъй като $H\gg l$ , то

\frac{L/2}{H}=\frac\delta2,\quad\text{или}\quad L=\frac\delta H.\qquad(3\ \text{т.})

Следователно

L=l\frac Hf=0{,}1\ \mathrm m.\qquad(2\ \text{т.})

Тъй като слоновете са съществено по-големи от 10 cm, то няма проблеми да бъдат наблюдавани с този спътник. (0 т.)

Геометрична схема на камерата сO,l,h,H,L иъгълδ.

Оригинал в Архива: NOA3_1998_problems.pdf · официални решения: NOA3_1998_7-9solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_1998_10-12solutions.pdf · допълнителни данни: 1998-1999-booklet.pdf