Съдържание

НОА 2000, III кръг (национален), 7–9 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2000

III кръг на III национална олимпиада по астрономия, април 2000 г., ученици VII - IX клас · 14 т.

Условие

Установено е, че астероид, движещ се по кръгова орбита с радиус 4 AU, ще се сблъска с друг астероид, след което ще се насочи към Земята. За да бъде отклонен от първоначалната си орбита първият астероид, към него е изпратен малък астероид “камикадзе”. Малкият астероид с маса $10^9$ тона е изстрелян в противоположна на Слънцето посока от разстояние 1 AU от Слънцето. Началната му скорост спрамо Слънцето е $v_0$ . Моментът на изстрелването е пресметнат така, че когато малкият астероид достигне до орбитата на големия, да се блъсне в него. Получава се взрив, при който цялата кинетична енергия на малкия астероид се трансформира в енергия на взрива. Изчислено е, че енергията на взрива трябва да бъде поне $1.2 \times 10^{20}$ J, за да се предизвика необходимото отклонение на големия астероид. Каква е началната скорост $v_0$ на астероида “камикадзе”? Гравитационното взаимодействие между двата астероида да се пренебрегне.

Справочни данни:

Гравитационна константа $G = 6.67 \times 10^{-11}$ m $^3$ kg $^{-1}$ s $^{-2}$
Маса на Слънцето $M_c = 2 \times 10^{30}$ kg; 1 AU $= 150 \times 10^6$ km
Потенциална енергия на тяло с маса $m_1$ в гравитационното поле на тяло с маса $m_2$ :
$E_P = -\,G m_1 m_2 / r$ , където $G$ е гравитационната константа, а $r$ е разстоянието между телата.

Отговори

Решение

Малкият астероид се изстрелва от точка, намираща се на разстояние $r_0 = 1$ AU от Слънцето и се сблъсква с големия астероид в точка на разстояние $r = 4$ AU от Слънцето. Нека в момента на сблъсъка скоростта на малкия астероид относно Слънцето е $v$ . Тогава съгласно закона за запазване на пълната механична енергия:

m v_0^2 / 2 - G M_C m / r_0 = m v^2 / 2 - G M_C m / r

(3 т.)

където $m = 10^9$ t е масата на малкия астероид, $M_C$ е масата на Слънцето, а $G$ е гравитационната константа.

Оттук намираме:

v = (v_0^2 - 2G M_C (1 / r_0 - 1 / r))^{1/2}

(1 т.)

Скоростта $w$ на движение на големия астероид ще бъде равна на кръговата скорост на разстояние от Слънцето $r$ :

w = (G M_C / r)^{1/2}

(1 т.)

Разбира се, тя може и да се пресметне с помощта на третия закон на Кеплер, приложен, например, за астероида и за Земята.

По посока скоростта $v$ на движение на малкия астероид относно Слънцето е перпендикулярна на скоростта $w$ на големия астероид по неговата орбита. В координатна система, неподвижно свързана с големия астероид, малкият астероид ще има скорост $v_1$ , която представлява векторна сума от скоростите $v$ и $-w$ . Следователно относителната скорост на астероида “камикадзе” спрямо големия астероид в момента на сблъсъка ще бъде:

v_1 = (v^2 + w^2)^{1/2}

(3 т.)

Тук използваме Питагоровата теорема. Кинетичната енергия на малкия астероид, която ще се превърне в енергия на взрива, е:

E_K = m v_1^2 / 2

E_K = m(v^2 + w^2) / 2

(2 т.)

Заместваме v и w с получените за тях изрази и намираме:

E_K = m(v_0^2 - G M_C (2 / r_0 - 3 / r)) / 2

(1 т.)

Оттук:

v_0 = (2E_K / m + G M_C (2 / r_0 - 3 / r))^{1/2}

(2 т.)

Имайки предвид, че $E_K = 1.2 \times 10^{20}$ J, получаваме:

v_0 \approx 36.76 \text{ km/sec.}

(1 т.)

Оригинал в Архива: NOA3_2000_7-9problems.pdf · официални решения: NOA3_2000_7-9solutions.pdf