Съдържание

НОА 2001, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

II кръг на IV национална олимпиада по астрономия 2001, ученици VII ÷ VIII клас · 11 февруари 2001 г. · 10 т.

Условие

Периодът на обикаляне на Земята около Слънцето е 1 година, а периодът на обикаляне на Юпитер около Слънцето е 12 години. На 28 ноември 2000 г. Юпитер беше в противостояние. Това означава, че Юпитер, Земята и Слънцето, подредени точно в посочения тук ред, са били на една права линия (пренебрегваме лекия наклон на равнината на орбитата на Юпитер спрямо земната орбита около Слънцето). Пресметнете с точност до едно денонощие колко дни след тази дата Юпитер отново ще бъде в противостояние.

Справочни данни за трите възрастови групи

Средно разстояние между Земята и Слънцето $149.6 \times 10^{6}$ km
Земно ускорение $g$ = 9.8 km/sec $^2$
Ускорение на силата на тежестта на лунната повърхност $g_{\text{Л}} = g / 6$
Среден диаметър на видимия слънчев диск $32'$ (дъгови минути)
Тропична година 365.25 денонощия
Парсек 1 pc = 3.26 светлинни години
Диаметърът на Земята е 109 пъти по-малък от диаметъра на Слънцето.

Отговори

Решение

Орбитите на Земята и на Юпитер около Слънцето: изходното противостояние (положения 1 и 1'), положение 2 на Юпитер една година по-късно и положение 3 след още 30.4 денонощия.

На 28 ноември 2000 г. Юпитер е в противостояние (опозиция) и е в положение 1, а Земята – в положение 1' (1 т.). Една година по-късно Земята е извършила пълна обиколка около Слънцето и отново е дошла в положение 1', а Юпитер е изминиал 1/12 част от орбитата си и се е преместил в положение 2 (2 т.). За да го догони, Земята трябва да измине още също 1/12 част от своята орбита. За това й е необходимо време, равно на 1/12 част от годината, или $365.25/12 \approx 30.4$ денонощия (1 т.).

Но за тези 30.4 денонощия Юпитер от своя страна изминава още една малка част от орбитата си, равна на 1/12 от 1/12 - тата й част, понеже се движи около Слънцето с 12 пъти по-малка ъглова скорост, отколкото Земята. Така той отива в положение 3 (2 т.). Земята пак трябва да го догонва, изминавайки още също 1/12 от 1/12 - тата част от своята орбита, за което й е необходимо допълнително време, равно на $30.4/12 \approx 2.5$ денонощия (1 т.). За това време Юпитер също се премества още малко. Бихме могли да продължим този процес на непрекъснато приближаване към точната стойност на търсения резултат с безкраен брой подобни стъпки, но тъй като в задачата се изисква точност само до едно денонощие, можем да спрем дотук (1 т.). В крайна сметка следващото противостояние на Юпитер ще се случи след време:

365.25 + 30.4 + 2.5 \approx 398\ \text{дни.} \qquad \textbf{(2 т.)}

Бихме могли да решим задачата по-кратко, ако използваме формулата за връзката между сидеричните периоди на обикаляне на Земята и на Юпитер около Слънцето, съответно $T_{\text{З}} = 1$ година и $T_{\text{Ю}} = 12$ години, и синодичния период на Юпитер $T_{\text{Ю}}'$ (3 т.), който по дефиниция е именно периодът между две последователни противостояния на панетата:

1 / T_{\text{Ю}}' = 1 / T_{\text{З}} - 1 / T_{\text{Ю}} \qquad \textbf{(4 т.)}

откъдето получаваме:

T_{\text{Ю}}' = T_{\text{З}} T_{\text{Ю}} / (T_{\text{Ю}} - T_{\text{З}}) \qquad \textbf{(2 т.)}

T_{\text{Ю}}' \approx 1.091\ \text{години} \approx 398\ \text{денонощия} \qquad \textbf{(1 т.)}

Оригинал в Архива: NOA2_2001_7-8problems.pdf · официални решения: NOA2_2001_7-8solutions.pdf