НОА 2001, III кръг (национален), 11–12 клас — Практическа задача

• ***** Двете звезди и центърът на масите винаги лежат на една права, а разстоянията им до центъра на масите са обратно пропорционални на масите. За всяка точка от дадената орбита се тегли отсечка до центъра на масите и се продължава с половин дължина; крайната точка принадлежи на орбитата на по-тежката звезда (фиг.1).
• ***** Орбитата е елипса, чиято голяма ос е стриктно перпендикулярна на зрителния лъч; точките a и c ($V_R = 0$) са в краищата на малката ос — там звездата се движи перпендикулярно на зрителния лъч, а b и d са в краищата на голямата ос: в b звездата се движи право към нас, а в d – право от нас, като d е периастрият. Възможните ориентации са две, поради двете възможни посоки на обикаляне по орбитата (фиг.2).
• ***** Кривата на по-тежката компонента е огледална на дадената спрямо абсцисната ос и три пъти по-малка по амплитуда, тъй като $v_1/v_2 = M_2/M_1$ (фиг.3).

Решение. От определението за център на масите следва, че разстоянията до него са обратно пропорционални на масите на компонентите на двойната звезда. От съображение за подобие, както и поради малките ъглови размери на кратните звездни системи, следва, че това е вярно и за видимите ъглови разстояния на двете звезди до центъра на масите. Тъй като двете звезди и центърът на масите винаги лежат на една права, то на всяка точка от орбитата на по-леката звезда еднозначно съответства точка от орбитата на по-тежката звезда. Избираме една точка от дадената орбита и построяваме отсечка от избраната точка до центъра на масите, след което я продължаваме с половин дължина. Крайната точка на така получената отсечка е точка от орбитата на по-тежката звезда. Като повторим тази процедура за голям брой различни точки, разпределени по орбитата на едната компонента, можем да получим достатъчен брой точки от орбитата на другата компонента и с добра точност да възстановим нейната орбита (фиг. 1).

• Тъй като кривата на лъчевите скорости не е синусоида, то орбитата не е кръгова, а е елипса. Кривата не е симетрична и следователно орбитата не е ориентирана с голямата си ос успоредно на зрителния лъч. Освен това забелязваме, че всеки един от двата участъка на кривата (под и над абсцисата) е симетричен, т.е. ab е симетрично на bc и cd е симетрично на da. Следователно голямата ос на орбитата е стриктно перпендикулярна на зрителния лъч. Точките a и c имат лъчеви скорости $V_R = 0$ и следователно съответстват на точки, в които звездата се движи перпендикулярно на зрителния лъч. В точка b лъчевата скорост има максимална отрицателна големина и следователно съответства на точка от орбитата, в която звездата се движи право към нас. Аналогично точка d съответства на точка от орбитата, в която звездата се отдалечава от нас право по зрителния лъч. При това там скоростта е максимална, от което следва, че в точка d звездата е в периастрий.

Следователно орбитата ще изглежда така (фиг. 2):

Възможните орбити са две, поради двете възможни посоки на обикаляне по орбитата.

• Тъй като двойната звезда можем да приемем за затворена механична система, за нея можем да запишем закона за запазване на импулса. Ако работим в координатна система, свързана с центъра на масите, то:

Където $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$ са пространствените скорости на звездите и са векторни величини.

Следователно:

От тук следва, че скоростите на звездите са успоредни по направление и противоположни по посока. За абсолютните стойности на скоростите можем да запишем:

т.е. те са обратно пропорционални на масите на звездите.

От елементарни геометрични съображения е ясно, че тези разсъждения са верни и за лъчевите скорости на звездите. Следователно лъчевата скорост на по-тежката компонента във всеки момент от време ще бъде обратна по посока и три пъти по-малка по големина от лъчевата скорост на леката компонента (фиг. 3).