Съдържание

НОА 2001, IV кръг, Старша възраст — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2001

IV Национална олимпиада по астрономия, подборен кръг за избиране на българския национален отбор за участие в VI Международна олимпиада по астрономия, ученици 16 – 18 год. · 3 август 2001 г.

Условие

Хладен космически облак се изучава чрез радионаблюдения на дължината на известната 21-сантиметрова линия на неутралния водород. Лабораторната честота на тази линия е $\nu_0$ = 1420.4 MHz. Наблюдаваната честота на излъчването на облака се изменя от $\nu_1$ = 1419.31 MHz до $\nu_2$ = 1419.40 MHz с период една година. Облакът се намира в съзвездието Стрелец. Приблизително по кое време на годината честотата на излъчването на облака е минимална и кога – максимална? Каква е лъчевата скорост на облака? Ъгловият размер на облака е $\delta$ = 4′.3, а разстоянието до него – 10000 pc. Температурата му е 15 K. Оценете общата мощност на излъчване на облака в единици слънчева светимост.

Отговори

Решение

Решение:

Облакът е в Стрелец, т.е. близо до равнината на еклиптиката. Периодичното изменение на честотата му на излъчване се дължи на ефекта на Доплер, предизвикан от орбиталното движение на Земята около Слънцето.

Фиг.4 — орбитата на Земята около Слънцето с положения 1 (януари), 2 (април), 3 (юли) и 4 (октомври) и посоката към облака в съзвездието Стрелец.

Слънцето е в зодиакалния знак Стелец през декември, следователно то е, или би трябвало да е в съзвездието Стрелец през януари, при положение 1 на Земята на Фиг.4, ако се гледа откъм северния полюс на земното кълбо. Поради орбиталното си движение около Слънцето, Земята се "приближава" с най-голяма лъчева компонента на скоростта към облака в началото на пролетта (положение 2) и тогава наблюдаваната честота на излъчването на облака е максимална. Аналогично, в началото на есента наблюдаваната честота е минимална.

Лъчевата скорост на движение на облака относно Земята в първия случай може да се намери по формулата:

V_1\,/\,c = \Delta\nu\,/\,\nu_0 \qquad \Rightarrow \qquad V_1\,/\,c = (\nu_0 - \nu_1)\,/\,\nu_0

където $c$ е скоростта на светлината.

V_1 = c(\nu_0 - \nu_1)\,/\,\nu_0

V_1 \approx 230\ \text{km/s}

Във втория случай получаваме:

V_2 = c(\nu_0 - \nu_2)\,/\,\nu_0

V_2 \approx 170\ \text{km/s}

Скоростта на движение на Земята по орбитата ѝ около Слънцето е:

V_\oplus = 2\pi\,.\,1\ \text{AU}\,/\,1\ \text{год.} \approx 30\ \text{km/s}

Лъчевата скорост на движение на облака, коригирана за движението на Земята, или все едно, лъчевата му скорост относно Слънцето, е:

V = V_1 - V_\oplus = V_2 - V_\oplus = 200\ \text{km/s}

Понеже $\nu_1$ и $\nu_2$ ) са по-малки от $\nu_0$ , следва че облакът се отдалечава от нас.

Разстоянието до облака е $r$ = 10000 pc. Линейният му размер е:

D = r\,\delta\ [\text{rad}]

Ако смятаме облака за сферичен, радиусът му е:

R = D\,/\,2 = r\,\delta\,/\,2 .

Температурата на облака е $T$ , мощността на излъчване е:

L = 4\pi\,R^2\,\sigma\,T^4

където $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Ако $L_\odot$ е светимостта на Слънцето, то:

L\,/\,L_\odot = 4\pi\,R^2\,\sigma\,T^4\,/\,4\pi\,R_\odot^2\,\sigma\,T_\odot^4

L\,/\,L_\odot = (r\,\delta\,/\,2\,R_\odot)^2\,(T\,/\,T_\odot)^4

L \approx 3.3 \times 10^6\,L_\odot

Резултатът е впечатляващ. Въпреки крайно ниската температура, мощността на излъчване на облака е над три милиона пъти по-голяма от тази на Слънцето. Така още веднъж добиваме представа за гиганстките космически мащаби. Необходимо е да се поясни, обаче, че това е приблизителна оценка, валидна за случая, когато излъчваната в космоса енергия идва главно от тънък слой на повърхността на облака. Ако облакът няма достатъчно голяма оптическа плътност, то за получаването на по-коректна оценка, е нужно да се интегрира по излъчването, идващо от целия обем на облака.

Оригинал в Архива: NOA4_2001_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2001_STsolutions.pdf