Съдържание

НОА 2004, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2004

VII Национална олимпиада по астрономия 2004, II кръг, ученици 11-12 клас · 8 февруари 2004 г.

Условие

Експедиция проучва в поречието на река Амазонка останките на голяма индианска цивилизация от ХІV век. Главният лагер е постороен на екватора, точно под един геостационарен спътник, който се използва за постоянна връзка с археологическия институт. Във връзката се намесва втори спътник за няколко минути, но на всеки 12 часа. През нощта някой успява да види с телескоп спътника, който, както се оказва, се движи в посока, обратна на въртенето на Земята. Какви са радиусите на орбитите на двата спътника? Има ли непосредствена опасност за тяхното съществуване?

Справочни данни:

Средно разстояние от Земята до Луната – 384 000 km
Период на обикаляне на Луната около Земята – 27.3 денонощия
Екваториален радиус на Земята – 6378 km
Спектрални класове на звездите (заедно с мнемонично правило за запомняне):
O, B, A, F, G, K, M (Oh, Be A Fine Girl, Kiss Me.).

Отговори

Решение

От това, че пресрещаме спътника на всеки 12 часа, следва, че спътникът прави една обиколка около Земята точно за 24 часа. Както е известно, геостационарните спътници обикалят около Земята синхронно с нейното въртене около оста. Логично е да се запитаме дали двата спътника не се движат по една и съща орбита в противоположни посоки и следователно, дали няма да се сблъскат. Земята наистина се завърта около оста си за едно денонощие, но това е звездно денонощие – $23^h56^m04^s$ . Вторият спътник прави една обиколка за по-дълго време и следователно се движи по по-висока орбита. Все пак спътниците имат някакви размери и трябва да видим, дали разстоянието между орбитите е достатъчно голямо. За целта изчисляваме радиусите на орбитите на двата спътника.

Използвайки данните за сидеричния лунен месец $T_{\text{Л}}$ и средното разстояние $a_{\text{Л}}$ от Земята до Луната, съгласно ІІІ закон на Кеплер пресмятаме:

\frac{a_{\text{Л}}^3}{T_{\text{Л}}^2} = \frac{a_C^3}{T_C^2}

a_C = a_{\text{Л}} \sqrt[3]{\frac{T_C^2}{T_{\text{Л}}^2}}

където $a_C$ и $T_C$ са радиусът на орбитата и орбиталният период на спътника. За втория спътник получаваме $a_C = 42353.5$ km, а за геостационарния спътник $a_C = 42276.4$ km. Разстоянието между орбитите е $\Delta a = 77$ km. Тъй като размерите на спътниците са очевидно по-малки от тази величина, то няма опасност те да се сблъскат.

Оригинал в Архива: NOA2_2004_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2004_11-12solutions.pdf