НОА 2004, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2

• 18

В момент 1 Земята е в точка $З_1$, а астероидът $a$ е в точка $a_1$, т.е. в опозиция. За един месец Земята се премества на $30^{\circ}$ в точка $З_2$. Тогава за нея ще е в опозиция астероидът $b$ в точка $b_2$. Астероидите правят една обиколка около Слънцето за 3 години. Следователно за един месец те се отместват по орбитата си на 1/36 от пълната обиколка, т.е. на $10^{\circ}$. Тогава, когато Земята е в точка $З_2$, астероидът $a$ ще се е отместил от точка $a_1$ в точка $a_2$, отстояща на $10^{\circ}$ от точка $a_1$. Тъй като ъгълът $З_1З_2$ е $30^{\circ}$, то ъгловото отстояние на точка $b_2$ от точка $a_2$ е $20^{\circ}$. Астероидите $a$ и $b$ са съседни, а по условие астероидите са на равни разстояния. Ето защо всички астероиди са на ъглово разстояние $20^{\circ}$ един от друг. Следователно броят на астероидите е: