Съдържание

НОА 2005, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2005

VIII Национална олимпиада по астрономия 2005, III кръг, ученици 7-8 клас · 5 март 2005 г.

Внимание: Бележка към темата

Условието на задача 3 изисква работа върху звездна карта, която не е включена в архивния PDF файл.

Условие

Два спътника се движат по кръгови орбити в равнината на земния екватор. Единият се движи в посоката на въртенето на Земята, а другият в обратна посока. В даден момент от време за един наблюдател на земния екватор двата спътника минават едновременно през зенита. След три часа спътниците отново преминават едновременно през зенита на същия наблюдател, и така на всеки три часа.

Какви са орбиталните периоди на двата спътника? Кой от спътниците е на по-висока орбита? Каква е разликата във височините на двата спътника?

Ако спътникът, двиежещ се в обратна посока, е на височината на геостационарната орбита, през какъв интервал от време ще се случват срещите на спътниците в зенита на наблюдателя? Какъв е периодът на спътника, който се движи в правата посока? Стигнете до отговора само посредством разсъждения, без формули и дълги пресмятания.

Справочни данни:

Маса на Земята	$5.98 \times 10^{24}$ kg
Гравитационна константа	$6.67 \times 10^{-11}$ m $^3$ / kg.s $^2$
Звездно денонощие	$23^\mathrm{h}56^\mathrm{m}04^\mathrm{s}$

Отговори

Решение

Нека преминаванията през зенита стават в моменти, означени на фигурата с 1 и 2. Земята се върти на изток, затова спътникът, който се движи в права посока, трябва да обиколи веднъж Земята и после допълнително да измине дъгата от орбитата си от точка 1 до точка 2. Спътникът, движещ се в обратна посока, ше стигне до зенита в точка 2 преди да е затворил една обиколка. Следователно спътникът на по-ниска орбита трябва да се движи в права посока, а спътникът на по-висока орбита – в обратна посока.

Нека $T_0$ е интервалът от време между две преминавания през зенита, $T$ е времето, за което Земята прави една обиколка около оста си, $T_1$ е времето, за което първият спътник (движещ се в права посока) прави една обиколка около Земята, $T_2$ е времето, за което вторият спътник (движещ се в обратна посока) прави една обиколка около Земята.

Тъй като интервалът от време между две преминавания на спътник през зенита е неговият синодичен период за земния наблюдател, за двата спътника можем да напишем уравненията:

\frac{1}{T_0}=\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T} \qquad \Rightarrow \qquad T_1=\frac{T_0 T}{T+T_0}

Земята и кръговите орбити на двата спътника с означени положения 1 и 2 на преминаванията през зенита и посоките на въртене T, T₁ и T₂.

\frac{1}{T_0}=\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T} \qquad \Rightarrow \qquad T_2=\frac{T_0 T}{T-T_0}

T_1 \approx 2^\mathrm{h}39^\mathrm{m}57^\mathrm{s}

T_2 \approx 3^\mathrm{h}25^\mathrm{m}48^\mathrm{s}

Използваме III закон на Кеплер в обобщен вид за двата спътника:

\frac{\left(R+h_1\right)^3}{T_1^{\,2}}=\frac{\gamma M}{4\pi^2} \qquad \Rightarrow \qquad h_1=\sqrt[3]{\frac{\gamma M T_1^{\,2}}{4\pi^2}}-R

където $R$ е радиусът на Земята, а $h_1$ е височината на първия спътник. Аналогично за височината на втория спътник получаваме:

h_2=\sqrt[3]{\frac{\gamma M T_2^{\,2}}{4\pi^2}}-R

За разликата във височините получаваме:

\Delta h=h_2-h_1=\sqrt[3]{\frac{\gamma M}{4\pi^2}}\left(\sqrt[3]{T_2^{\,2}}-\sqrt[3]{T_1^{\,2}}\right)=1\ 786.3\ \text{km}

Спътник на геостационарна орбита, но движещ се в обратна посока, ще преминава през зенита за неподвижен наблюдател през 12 звездни часа, т.е. $11^\mathrm{h}58^\mathrm{m}02^\mathrm{s}$ средно слънчево време, защото спътникът и Земята имат еднаква ъглова скорост, но се въртят в противоположни посоки. Тъй като и първият спътник трябва да е в зенита на наблюдателя в същия момент, той трябва да направи за 12 звездни часа една и половина обиколки около Земята. Следователно той прави една обиколка за 8 звездни часа, което е $7^\mathrm{h}58^\mathrm{m}41.4^\mathrm{s}$ средно слънчево време.

Оригинал в Архива: NOA3_2005_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2005_7-8solutions.pdf