Съдържание

НОА 2005, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2005

VIII Национална олимпиада по астрономия 2005, III кръг, ученици 9-10 клас · 5 март 2005 г.

Условие

Малката планета № 887 (астероидът Алинда) обикаля около Слънцето по издължена елиптична орбита. За наблюдател, намиращ се близо до Слънцето, звездната й величина се изменя с амплитуда $\Delta m_A = 5.24^{m}$ . С каква амплитуда $\Delta m_S$ ще се променя звездната величина на Слънцето за наблюдател, намиращ се на астероида Алинда?

Отговори

Решение

За наблюдател на повърхността на астероида видимата звездна величина на Слънцето ще се променя поради това, че при движевието си по своята издължена елиптична орбита астероидът ще се намира на различни разстояния от Слънцето в различни моменти от време. За наблюдател в близост до Слънцето видимата звездна величина на астероида ще се променя по две причини:

Поради различното разстояние на астероида до наблюдателя в различни моменти от време;
Поради различната осветеност на астероида от Слънцето, когато той е различно отдалечен от него.

Нека с $r_1$ и $r_2$ отбележим съответно най-малкото и най-голямото разстояние, на което астероидът може да е от Слънцето, а с $E_1$ и $E_2$ – осветеностите, които Слънцето създава на повърхността на астероида при тези две разстояния. Съгласно формулата на Погсон:

\lg \frac{E_1}{E_2} = 0.4\,\Delta m_S \qquad (1)

Освен това е изпълнено съотношението:

E_1/E_2 = r_2^{\,2}\big/ r_1^{\,2} \qquad (2)

откъдето получаваме:

\lg \frac{r_2}{r_1} = 0.2\,\Delta m_S \qquad (3)

Осветеността, която астероидът създава от разстояние $r_1$ за наблюдател в близост до Слънцето, е пропорционална на осветеността на астероида от Слънцето и площта $S$ на видимия диск на астероида:, и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието:

E_1' \propto \frac{E_1 \cdot S}{r_1^{\,2}}

Аналогчно за осветеността, създавана от астероида на разстояние $r_2$ можем да напишем:

E_2' \propto \frac{E_2 \cdot S}{r_2^{\,2}}

Разделяме почленно двете последни уравнения и като използваме (2), получаваме:

\frac{E_1'}{E_2'} = \frac{r_2^{\,4}}{r_1^{\,4}}

От друга страна:

\lg \frac{E_1'}{E_2'} = 0.4\,\Delta m_A

откъдето следва:

\lg \frac{r_2}{r_1} = 0.1\,\Delta m_A \qquad (4)

Като сравним (4) и (3), окончателно пресмятаме:

\Delta m_S = \frac{\Delta m_A}{2}

\Delta m_S = 2.62^{m}

Оригинал в Архива: NOA3_2005_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2005_9-10solutions.pdf