НОА 2005, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Квазари в две галактики

• ▪ $M > \frac{\left(z_1 - z_2\right)^3 c^3}{2\gamma H} = 0.83\times 10^{47}\ \text{kg} \approx 4.2\times 10^{13}\,M_{\odot}$

  Отпечатано в решението като $M > 0.83\times 10^{47}\,kg \approx 4.2\times 10^{13}$ слънчеви маси. Тъй като е използвана само лъчевата компонента на относителната скорост, истинската минимална маса може да е и по-голяма.

Решение: От величините на червеното преместване за двата квазара можем да намерим скоростите, с които те се отдалечават от нас:

където c е скоростта на светлината. Съгласно закона на Хъбъл за разширението на Вселената, разстоянията до двата квазара са съответно:

където H е константата на Хъбъл.

Разликата между двете разстояния е:

На разстоянието от нас до първия квазар $r_1 \approx 1744$ Mpc ъгловото отстояние между двата квазара $\alpha = 1''$ съответства на линейно разстояние:

което е много по-малко от $r_1 - r_2$. Следователно можем да считаме, че $r_1 - r_2$ е приблизително равно на разстоянието между двата квазара $\Delta r$. Също така можем да считаме, че относителната скорост на единия квазар спрямо другия има компонента по зрителния лъч от земния наблюдател:

Тъй като нямаме информация за компонентата на относителната скорост, перпендикулярна на зрителния лъч, ние не знаем каква е пълната относителна скорост на единия квазар спрямо другия. Единствено можем да кажем, че пълната скорост е не по-малка от $\Delta v$. Засега приемаме, че $\Delta v$ е пълната скорост. Тогава, за да бъдат двете галактики гравитационно свързана система, тази скорост трябва да е по-малка от скоростта на избягване на разстоянието между двата квазара. Ако по-масивната галактика има маса M (масата на другата е много по-малка), то можем да напишем:

Оттук следва:

Предвид това, че изчисленията не бяха направени с истинската пълна относителна скорост, минималната маса, която търсим, може да се окаже и по-голяма от получената стойност.