НОА 2006, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 5

• $t \approx 573 \times 10^6\ \text{години}$

  Пресметнато с видим ъглов радиус на Слънцето в афелий $15'\!.75$. С погрешно раздадената стойност в перихелий $16'\!.3$ се получава $t \approx 264 \times 10^6$ години, което също се е зачитало за правилен резултат.

Понастоящем се наблюдават пълни слънчеви затъмнения, защото в определени случаи видимият ъглов размер на Луната е по-голям или равен на този на Слънцето. Но понякога, когато Луната е близо до апогея на своята орбита около Земята, например, едно слънчево затъмнение, дори и да е централно, може да не е пълно, а пръстеновидно – Луната закрива централната част от видимия слънчев диск, а по периферията остава един тесен светъл пръстен. Най-благоприятните обстоятелства за наблюдение на пълно слънчево затъмнение са, когато Луната е най-близо до Земята, т.е. в перигей, лунната сянка попада върху участък от земното кълбо, който е най-близо до Луната (за който Луната е в зенита), а Земята е най-далеч от Слънцето, т.е. в афелий. Да означим с $r_L$ разстоянието от Земята до Луната в перигей, а с $\alpha_S$ – ъгловия радиус на Слънцето, когато Земята е в афелий. Най-близкото разстояние, от което земен наблюдател може да вижда Луната, е $r = r_L - R_T$, където $R_T$ е радиусът на Земята. За да престанат да се наблюдават пълни слънчеви затъмнения, трябва при тези изброени обстоятелства видимият ъглов размер на Луната $\alpha_L$ да стане по-малък от ъгловия размер на Слънцето:

където $R_L$ е линейният радиус на Луната. В наше време $\alpha_L > \alpha_S$. За да се изравнят тези видими ъглови радиуси, е необходимо разстоянието до Луната да се увеличи с $d.t$, където $d = 4$ cm е разстоянието, с което се отдалечава Луната за една година, а $t$ е броят години, които трябва да изминат. За $t$ получаваме следното уравнение:

Не бива да забравяме да превърнем $\alpha_S$ от дъгови минути в радиани. От уравнението получаваме:

Забележка: В справочните данни вместо видимия ъглов радиус на Слънцето при афелий – $15'\!.75$ (дъгови минути), погрешно беше даден видимият ъглов радиус на Слънцето при перихелий – $16'\!.3$ При използване на тази стойност се получава $t \approx 264 \times 10^6$ години, което се зачита за правилен резултат при проверката на писмените работи.

Справочни данни:

Период на прецесия на земната ос – 26 000 години

Разстояние от Земята до Луната в перигей – 363 000 km

Видим ъглов радиус на Слънцето при афелий – $15'\!.75$ (дъгови минути)

Радиус на Луната – 1738 km

Радиус на Земята – 6378 km

Маса на Луната – $7.35 \times 10^{22}$ kg

Гравитационна константа – $\gamma = 6.67 \times 10^{-11}$ m$^3$/kg.s$^2$

Сидеричен лунен месец – 27.3 денонощия