Съдържание

НОА 2006, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Пилотиран полет до Марс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

IX Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици 11-12 клас · 13 май 2006 г.

Условие

Вие участвате в пилотиран полет до Марс с минимален разход на гориво. От Земята вашият космически кораб тръгва по елиптична орбита около Слънцето с перихелий върху орбитата на Земята и афелий върху орбитата на Марс. Изминавайки половината от тази елипса, корабът достига до червената планета. След известен престой на Марс корабът се връща на Земята, като тръгва отново по елипса със същите характеристики. Приемете, че Земята и Марс се движат по кръгови орбити около Слънцето.

Колко време ще трае полетът до Марс?

В каква позиция трябва да бъде Марс относно Земята в началото на пътешествието?

Колко време трябва да бъде престоят на космонавтите на повърхността на планетата, докато настъпи подходящият момент, когато могат да тръгнат обратно към Земята?

Колко време ще трае общо цялото пътешествие?

Справочни данни:

Радиус на орбитата на Марс 1.5237 AU (астрономически единици).

Отговори

Решение

Решение:

Кръговите орбити на Земята и на Марс около Слънцето, полуосите aT и aM, елиптичната траектория на кораба и положенията Земя 1, Земя 2, Марс 1, Марс 2. — Схема на полета до Марс: положенията Земя 1, Земя 2, Марс 1 и Марс 2 и елиптичната траектория на кораба.

От чертежа става ясно, че корабът ще се движи по елипса с голяма полуос, равна на половината от сумата на радиусите на земната и марсианската орбита $a_T$ и $a_M$ . Орбиталния период $T$ на движение по тази елипса определяме от III закон на Кеплер:

\frac{[(a_T + a_M)/2]^3}{T^2} = 1

където $a_T$ и $a_M$ се измерват в астрономически единици, а $T$ в земни години.

T = \sqrt{\left(\frac{a_T + a_M}{2}\right)^3}

Времето $t$ за достигане на кораба от Земята до Марс ще бъде само половината от орбиталния период $T$ , защото корабът изминава само половината от елиптичната траектория.

t = T/2 \approx 0.7087\ \text{години}

Когато корабът стигне до марсианската орбита, планетата Марс трябва да бъде там, в точка Марс 2. Моментът на изпращането на кораба от Земята е бил $t = 0.7087$ години по-рано. За това време Марс трябва да е изминал дъга от своята орбита, съответстваща на ъгъл:

\alpha = 360^\circ\cdot\frac{t}{T_M}

където $T_M$ е сидеричният период на обикаляне на Марс около Слънцето. Можем да го намерим в години също от III закон на Кеплер:

T_M = \sqrt{a_M^{\;3}}

Накрая получаваме $\alpha \approx 135.7^\circ$ . В момента на тръгването на кораба от Земята Марс е бил в положение Марс 1, на ъгъл 135.7° назад по орбитата си от положение Марс 2, където е станала срещата с кораба.

За времето $t$ , през което е траел полетът до Марс, Земята се е преместила до положение Земя 2, което е на ъгъл β от първоначалното Земя 1. Намираме този ъгъл:

\beta = 360^\circ\cdot\frac{t}{T_T} \approx 255.1^\circ

Тук $T_T$ е орбиталният период на Земята.

При завръщането си към Земята корабът ще лети по елипса със същите параметри, както при пътуването от Земята до Марс. Следователно полетът на връщане също ще трае време $t$ . За да срещнем Земята, когато достигнем до земната орбита, трябва правилно да сме избрали момента за тръгването си от Марс. Точката, в която достигаме Земята на нейната орбита, е противоположна на точката, в която се намира Марс при излитането ни от него. Т.е. тогава Земята трябва да е на 180° от Марс. Земята изпреварва Марс при движението си около Слънцето. За време $t$ тя изминава 255.1° от орбитата си. Ето защо, когато тръгваме от Марс, Земята трябва да е на $255.1^\circ - 180^\circ = 75.1^\circ$ назад от Марс по посоката на обикаляне около Слънцето. В момента на нашето пристигане на Марс, обаче, Земята е на $255.1^\circ - 180^\circ = 75.1^\circ$ пред Марс. За да бъде в желаната от нас позиция спрямо Слънцето (75.1° след него), Земята трябва да го изпревари с $360^\circ - 2\times75.5^\circ = 209.8^\circ$ . Това може да стане след време:

t_1 = \frac{209.8^\circ}{360^\circ}\cdot T_{Msyn}

където $T_{Msyn}$ е синодичният период на Марс. Определяме го от формулата:

\frac{1}{T_{Msyn}} = \frac{1}{T_T} - \frac{1}{T_M}

Заместваме и получаваме:

t_1 = \frac{209.8^\circ}{360^\circ}\cdot\frac{T_M T_T}{T_M - T_T}

t_1 \approx 1.244\ \text{години}

Такъв ще бъде престоят на земната експедиция на Марс. Накрая общо цялото пътешествие ще продължи:

t_1 + 2t = 2.661\ \text{години} \approx 2\ \text{години}\ 8\ \text{месеца}.

Оригинал в Архива: NOA3_2006_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2006_11-12solutions.pdf