Съдържание

НОА 2006, IV кръг, Старша възраст — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · КОМИСИЯ ПО ПРОВЕЖДАНЕТО НА IX НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV КРЪГ · 15 юли 2006 г., гр. Стара Загора · Ученици старша възраст · 15 юли 2006 г.

Условие

През лятото на 2026 г. астрономът Александър Куртенков извършва наблюдения от борда на геостационарна космическа станция. В свободното си време той дава консултации по GSM на участниците в астрономическия лагер „The Dishes“ в източната част на Африка с координати φ = 0°, λ = 45°. В помощ на обучението, Александър решава да изпрати контейнер с научна информация и част от своите хранителни запаси до лагера.

С каква скорост и в каква посока трябва да се изхвърли контейнерът от станцията, така че да пада вертикално към Земята?

Какви са приблизително координатите на астрономическата обсерватория, над която се намира станцията? Приблизително в коя част на света е тя?

С каква минимална скорост на изхвърляне от станцията контейнерът може изобщо да достигне земната повърхност? Пресметнете големината на скоростта, с която контейнерът ще се удари в земната повърхност в този случай.

Влиянието на атмосферата да не се отчита.

Справочни данни:
Радиус на Земята – 6378 км
Маса на Земята – 6 x 10²⁴ кг
Гравитационна константа – γ =6.67×10⁻¹¹ м³/кг.с²

Решение

Геостационарният спътник се движи в екваториалната равнина на Земята по посока на нейното околоосно въртене с период $T$ , равен на едно звездно денонощие, или $23^{\mathrm h}56^{\mathrm m}$ . Радиуса на орбитата му $r$ намираме от III закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2}=\frac{\gamma M}{4\pi^2}

където $M$ е масата на Земята, а $\gamma$ е гравитационната константа.

r=\sqrt[3]{\frac{\gamma MT^2}{4\pi^2}}\approx43400\ \text{км}

За да пада контейнерът вертикално към Земята, той трябва да се изхвърли от спътника в посока, обратна на неговото движение, със скорост, равна по големина на скоростта на спътника. Тази скорост е:

v=\frac{2\pi r}{T}=\sqrt[3]{\frac{2\pi\gamma M}{T}}\approx3.08\ \text{км/с}

За да оценим времето за падането на контейнера на Земята, предполагаме, че той се движи по много силно сплесната елиптична орбита около центъра на нашата планета с голяма полуос, равна на половината от радиуса на геостационарната орбита. Периодът на движение на контейнера по такава орбита $T_1$ можем да намерим отново с помощта на III закон на Кеплер:

\frac{(r/2)^3}{T_1^2}=\frac{r^3}{T^2}

T_1=\frac{T}{2\sqrt2}

Времето за падането на контейнера ще бъде половината от този период, или:

t=\frac{T_1}{2}=\frac{T}{4\sqrt2}\approx4^{\mathrm h}14^{\mathrm m}

Но това е времето, за което контейнерът би паднал не до земната повърхност, а до центъра на Земята. Радиусът на Земята обаче, е само около 1/7 от радиуса на орбитата на спътника. Освен това за изминаването на тази последна 1/7 от пътя си до центъра на Земята, в случай, че цялата ѝ маса беше съсредоточена в една точка там, контейнерът би изразходвал много малко време в сравнение с останалата част от пътуването си, защото би се движил с много голяма скорост. Ето защо можем да пренебрегнем това и да считаме, че времето за падане на контейнера на земната повърхност е приблизително 4 часа. За тези 4 часа Земята ще се завърти на около $4\times15^\circ=60^\circ$ на изток. Следователно точката на падането на контейнера ще бъде на $60^\circ$ западно от обсерваторията, над която „виси” геостационарният спътник. Географските координати на обсерваторията ще бъдат $\varphi=0^\circ$ , $\lambda=105^\circ$ . Това е някъде в Индонезия.

Минималната скорост на изхвърляне от контейнера $v_2$ , при която той въобще ще достигне до земната повърхност, е скоростта, при която контейнерът би тръгнал да се движи по елипса с апогей върху геостационарната орбита и перигей върху земната повърхност. Голямата полуос на такава елипса би била:

a=\frac{r+R}{2}

където $R$ е радиусът на Земята. Скоростта на контейнера относно Земята в апогей, т.е. в момента на изхвърлянето от спътника, ще бъде $v_a=v-v_2$ . Означаваме скоростта на контейнера в перигей с $v_p$ . Съгласно II закон на Кеплер:

v_pR=v_ar

Приравняваме пълната механична енергия на контейнера в момента на хвърлянето му от спътника и в момента на достигането му до Земята:

\frac{v_a^2}{2}-\frac{\gamma M}{r}=\frac{v_p^2}{2}-\frac{\gamma M}{R}

Масата на контейнера сме съкратили като множител във всеки от членовете на уравнението. От последните две уравнения получаваме:

v_a=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r+R}\cdot\frac Rr}

v_p=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r+R}\cdot\frac rR}

Скоростта, с която трябва да се изхвърли контейнерът от спътника, ще бъде:

v_2=v-v_a\approx1.54\ \text{км/с}

А скоростта, с която ще се удари в земната повърхност, ще бъде:

v_3=v_p-v_0

Където $v_0=2\pi T/R$ е линейната скорост на точка от екватора при околоосното въртене на Земята.

v_3\approx10.0\ \text{км/с}

Оригинал в Архива: NOA4_2006_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2006_STsolutions.pdf · допълнителни данни: NOA4_2006_MLsolutions.pdf